问题介绍
Collaborative Filtering（协同过滤）是推荐系统中一种常见的技术。它的目标是根据用户的历史行为和与其他用户的相似性来预测用户可能喜欢的项目。
在本问题中，我们将研究如何使用协同过滤算法来为用户推荐电影。我们将使用一个虚拟的电影评分数据集，其中包含多位用户对多部电影的评分。
算法原理
协同过滤算法的核心思想是“物以类聚”和“人以群分”。它有两种主要的实现方式：基于用户的协同过滤和基于物品的协同过滤。
基于用户的协同过滤算法通过计算用户之间的相似性来预测用户对项目的评分。它的基本原理是，如果两个用户在过去的评分上有相似的偏好，那么他们在将来的评分上可能也会有相似的偏好。具体而言，算法通常通过计算用户之间的相似度得分来预测用户对未评分项目的评分。
基于物品的协同过滤算法与基于用户的协同过滤算法类似，但是它是通过计算项目之间的相似性来预测用户对项目的评分。算法的基本原理是，如果两个项目在过去的评分中经常与相同的用户得到高分，那么它们在将来的评分中也可能会有类似的表现。
在本问题中，我们将使用基于用户的协同过滤算法来为用户推荐电影。
协同过滤算法原理
假设我们有m个用户和n个电影。我们可以使用一个m×n的矩阵来表示用户对电影的评分，其中第i行第j列的元素表示用户i对电影j的评分。
我们现在的目标是预测用户u对电影i的评分。为此，我们可以计算用户u与其他用户之间的相似度。一种常见的相似度度量方法是余弦相似度。余弦相似度反映了向量之间的夹角，范围在-1到1之间，值越大表示越相似。
具体而言，我们使用以下公式计算用户u和用户v之间的余弦相似度：
$$
\text{similarity}(u, v) = \frac{{\sum\limits_{i=1}^{n}(r_{ui} – \bar{r_u})(r_{vi} – \bar{r_v})}}{{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(r_{ui}-\bar{r_u})^2} \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(r_{vi}-\bar{r_v})^2}}}
$$
其中，$r_{ui}$表示用户u对电影i的评分，$\bar{r_u}$表示用户u的平均评分。
当我们计算了用户u与其他用户之间的相似度后，我们可以使用以下公式来预测用户u对电影i的评分：
$$
\hat{r}{ui} = \bar{r_u} + \frac{{\sum\limits{v\in N}(r_{vi} – \bar{r_v}) \cdot \text{similarity}(u, v)}}{{\sum\limits_{v\in N}\text{similarity}(u, v)}}
$$
其中，$N$表示与用户u最相似的k个用户。
这样，我们就可以根据用户之间的相似度来推荐电影给用户。
计算步骤
- 读取虚拟电影评分数据集；
- 计算每个用户的平均评分；
- 为每个用户计算与其他用户之间的相似度；
- 根据相似度预测用户对未评分电影的评分；
- 根据预测评分推荐电影给用户。
Python代码示例
import numpy as np
# 读取虚拟电影评分数据集
data = np.array([
[5, 2, 4, 3, np.nan, np.nan],
[np.nan, 4, np.nan, 5, 1, np.nan],
[3, np.nan, 3, np.nan, 4, 5],
[1, np.nan, np.nan, 4, np.nan, 2]
])
# 计算每个用户的平均评分
mean_ratings = np.nanmean(data, axis=1)
# 计算用户之间的相似度
similarities = np.zeros((data.shape[0], data.shape[0]))
for i in range(data.shape[0]):
for j in range(data.shape[0]):
if i != j:
mask = ~np.logical_or(np.isnan(data[i]), np.isnan(data[j]))
if np.sum(mask) > 0:
similarities[i, j] = np.dot(data[i, mask] - mean_ratings[i], data[j, mask] - mean_ratings[j]) \
/ (np.linalg.norm(data[i, mask] - mean_ratings[i])
artical cgpt2md_gpt.sh cgpt2md_johngo.log cgpt2md_johngo.sh cgpt2md.sh _content1.txt _content.txt current_url.txt history_url history_urls log nohup.out online pic.txt seo test.py topic_gpt.txt topic_johngo.txt topic.txt upload-markdown-to-wordpress.py urls np.linalg.norm(data[j, mask] - mean_ratings[j]))
# 预测用户对未评分电影的评分
predictions = np.zeros((data.shape[0], data.shape[1]))
for i in range(data.shape[0]):
for j in range(data.shape[1]):
if np.isnan(data[i, j]):
mask = ~np.isnan(data[:, j])
if np.sum(mask) > 0:
predictions[i, j] = mean_ratings[i] + np.sum((data[:, j][mask] - mean_ratings[mask])
artical cgpt2md_gpt.sh cgpt2md_johngo.log cgpt2md_johngo.sh cgpt2md.sh _content1.txt _content.txt current_url.txt history_url history_urls log nohup.out online pic.txt seo test.py topic_gpt.txt topic_johngo.txt topic.txt upload-markdown-to-wordpress.py urls similarities[i, mask]) / np.sum(similarities[i, mask])
# 推荐电影给用户
recommendations = np.argsort(predictions, axis=1)[:, ::-1]
print("预测评分矩阵：")
print(predictions)
print("电影推荐矩阵：")
print(recommendations)
代码细节解释
- 第1行导入了
numpy库，用于处理多维数组和矩阵计算。 - 第4行定义了一个虚拟的电影评分数据集，其中
np.nan表示缺失值（未评分）。 - 第7行使用
np.nanmean()函数计算每个用户的平均评分。np.nanmean()函数自动忽略缺失值。 - 第10-18行使用嵌套的循环计算用户之间的相似度。其中，第13行计算两个用户之间的相似度得分，然后将得分保存到相似度矩阵中。
- 第21-30行使用嵌套的循环预测用户对未评分电影的评分。其中，第24行根据相似度和其他用户对该电影的评分来预测用户的评分。
- 第33行使用
np.argsort()函数将预测评分矩阵中的评分从高到低排序，并返回对应的电影索引，生成推荐电影矩阵。
这样，我们就完成了基于用户的协同过滤推荐算法的实现，并得到了电影的推荐结果。
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