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简介
灰狼优化算法（GWO）模拟了自然界灰狼的领导和狩猎层级，在狼群中存在四种角色，α \alpha α狼负责领导是最具有智慧的在狩猎当中可以敏锐的知道猎物的位置，β \beta β狼可以认为是军师比较具有智慧比较能知道猎物的位置，δ \delta δ狼负责协助前两个层级的狼，最后是ω \omega ω狼负责跟从。
在狩猎（寻优）的过程中，狼群的这三种层级并不是一成不变的，也会根据各个狼的适应度（fitness）进行调整，适应度最强的狼将会成为新的α \alpha α狼，其次是β \beta β狼，依次类推。通过很多次的寻找猎物（寻优）中三个层级逐渐趋于稳定，这个时候我们取α \alpha α狼的位置作为猎物(最优解)所处的位置。
注意：注意智能优化算法都是在优化函数光滑性较差，容易落入局部最优时才使用的，不要乱用。智能优化算法的收敛是一种概率意义的收敛，所以得到的解并不一定绝对最优，并且往往收敛较慢。
; 算法
- Step1: 根据优化的问题，设计fitness函数(目标函数，默认的是极小化问题)，设置可行域
-
Step2: 初始化狼群的个数N，每头狼的位置X i ( i = 1 , . . . , N ) X_i(i=1,…,N)X i (i =1 ,…,N )，并指定α , β , δ \alpha,\beta,\delta α,β,δ狼的位置X α , X β , X δ X_\alpha,X_\beta,X_\delta X α,X β,X δ, 以及它们对应的适应度f α , f β , f δ = f_\alpha,f_\beta,f_\delta=f α,f β,f δ=inf.
-
Step3: 依次更新每头狼的位置。对于第i i i头狼，计算其与α , β , δ \alpha,\beta,\delta α,β,δ狼的距离
D α = ∣ C 1 ∘ X α − X i ∣ , D β = ∣ C 2 ∘ X β − X i ∣ , D δ = ∣ C 3 ∘ X δ − X i ∣ , \begin{aligned} D_\alpha=|C_1\circ X_\alpha-X_i|,\ D_\beta=|C_2\circ X_\beta-X_i|,\ D_\delta=|C_3\circ X_\delta-X_i|,\ \end{aligned}D α=∣C 1 ∘X α−X i ∣,D β=∣C 2 ∘X β−X i ∣,D δ=∣C 3 ∘X δ−X i ∣,
并产生向三头狼移动的趋势项
Q 1 = X α − A 1 ∘ D α , Q 2 = X β − A 2 ∘ D β , Q 3 = X δ − A 3 ∘ D δ , \begin{aligned} Q_1=X_\alpha-A_1\circ D_\alpha,\ Q_2=X_\beta-A_2\circ D_\beta,\ Q_3=X_\delta-A_3\circ D_\delta,\ \end{aligned}Q 1 =X α−A 1 ∘D α,Q 2 =X β−A 2 ∘D β,Q 3 =X δ−A 3 ∘D δ,
其中，∘ \circ ∘表示hardmard乘积，r 1 , r 2 ∼ r_1,r_2\sim r 1 ,r 2 ∼ Unif([0,1]),A i = a ( 2 r 1 − 1 ) , C i = 2 r 2 ( i = 1 , 2 , 3 ) A_i=a(2r_1-1),C_i=2r_2(i=1,2,3)A i =a (2 r 1 −1 ),C i =2 r 2 (i =1 ,2 ,3 )，a = 2 ( 1 − t / T ) a=2(1-t/T)a =2 (1 −t /T )(t是当前迭代次数，T是最大迭代次数)。如果A i , C i A_i,C_i A i ,C i 是分量，则每个分量都独立生成，以上运算按照广播规则。最后可以得到第i i i头狼的位置更新为
X i ← 1 3 ( Q 1 + Q 2 + Q 3 ) . \begin{aligned} X_i\leftarrow \frac{1}{3}(Q_1+Q_2+Q_3). \end{aligned}X i ←3 1 (Q 1 +Q 2 +Q 3 ). - Step4:不断重复Step3直至α \alpha α狼群的位置稳定。
二进制灰狼算法
- Step1: 根据优化的问题，设计fitness函数(目标函数，默认的是极小化问题)，设置可行域
-
Step2: 初始化狼群的个数N，每头狼的位置X i ( i = 1 , . . . , N ) X_i(i=1,…,N)X i (i =1 ,…,N )，并指定α , β , δ \alpha,\beta,\delta α,β,δ狼的位置X α , X β , X δ X_\alpha,X_\beta,X_\delta X α,X β,X δ, 以及它们对应的适应度f α , f β , f δ = f_\alpha,f_\beta,f_\delta=f α,f β,f δ=inf.
-
Step3: 依次更新每头狼的位置。对于第i i i头狼，计算其与α , β , δ \alpha,\beta,\delta α,β,δ狼的距离
D α = ∣ C 1 ∘ X α − X i ∣ , D β = ∣ C 2 ∘ X β − X i ∣ , D δ = ∣ C 3 ∘ X δ − X i ∣ , \begin{aligned} D_\alpha=|C_1\circ X_\alpha-X_i|,\ D_\beta=|C_2\circ X_\beta-X_i|,\ D_\delta=|C_3\circ X_\delta-X_i|,\ \end{aligned}D α=∣C 1 ∘X α−X i ∣,D β=∣C 2 ∘X β−X i ∣,D δ=∣C 3 ∘X δ−X i ∣,
并产生向三头狼移动的趋势项
Q 1 = X α − A 1 ∘ D α , Q 2 = X β − A 2 ∘ D β , Q 3 = X δ − A 3 ∘ D δ , \begin{aligned} Q_1=X_\alpha-A_1\circ D_\alpha,\ Q_2=X_\beta-A_2\circ D_\beta,\ Q_3=X_\delta-A_3\circ D_\delta,\ \end{aligned}Q 1 =X α−A 1 ∘D α,Q 2 =X β−A 2 ∘D β,Q 3 =X δ−A 3 ∘D δ,
其中，∘ \circ ∘表示hardmard乘积，r 1 , r 2 ∼ r_1,r_2\sim r 1 ,r 2 ∼ Unif([0,1]),A i = a ( 2 r 1 − 1 ) , C i = 2 r 2 ( i = 1 , 2 , 3 ) A_i=a(2r_1-1),C_i=2r_2(i=1,2,3)A i =a (2 r 1 −1 ),C i =2 r 2 (i =1 ,2 ,3 )，a = 2 ( 1 − t / T ) a=2(1-t/T)a =2 (1 −t /T )(t是当前迭代次数，T是最大迭代次数)。如果A i , C i A_i,C_i A i ,C i 是分量，则每个分量都独立生成，以上运算按照广播规则。最后可以得到第i i i头狼的位置更新为
X i ← { 1 , i f s i g m o i d { 1 3 ( Q 1 + Q 2 + Q 3 ) } ≥ z 0 , o t h e r w i s e . \begin{aligned} X_i\leftarrow \begin{cases} 1,\quad if\quad sigmoid\left{\frac{1}{3}(Q_1+Q_2+Q_3)\right}\geq z\ 0,\quad otherwise. \end{cases} \end{aligned}X i ←{1 ,i f s i g m o i d {3 1 (Q 1 +Q 2 +Q 3 )}≥z 0 ,o t h e r w i s e .
其中，z ∼ z\sim z ∼unif([0,1]), sigmoid(x)=1 1 + e − 10 ( x − 0.5 ) \frac{1}{1+e^{-10(x-0.5)}}1 +e −1 0 (x −0 .5 )1 . -
Step4:不断重复Step3直至α \alpha α狼群的位置稳定。
; 代码
clear;clc;
% 狼群数量
SearchAgents_no = 30;
% 最大迭代次数
Max_iter = 200;
% 变量维度
dim = 2;
% 上限
ub = 10 * ones(1, dim);
% 下限
lb = -10 * ones(1, dim);
%%%%% 初始化
Alpha_pos = zeros(1, dim);
Alpha_score = inf;
Beta_pos = zeros(1, dim);
Beta_score = inf;
Delta_pos = zeros(1, dim);
Delta_score = inf;
% 初始化位置
Positions = rand(SearchAgents_no, dim) .* repmat(ub - lb, SearchAgents_no, 1) + repmat(lb, SearchAgents_no, 1);
Convergence_curve = zeros(1, Max_iter);
% 主循环
for l = 1 : Max_iter
for i = 1:SearchAgents_no
% 边界处理：越界赋值为边界值
Flag4ub = Positions(i, :) > ub;
Flag4lb = Positions(i, :) < lb;
Positions(i, :) = (Positions(i, :) .* (~(Flag4ub + Flag4lb))) + ub .* Flag4ub + lb .* Flag4lb;
% 计算目标函数
fitness = ObjFun(Positions(i, :));
% 更新 Alpha、Beta 和 Delta
if fitness < Alpha_score
Alpha_score = fitness;
Alpha_pos = Positions(i, :);
end
if fitness > Alpha_score && fitness < Beta_score
Beta_score = fitness;
Beta_pos = Positions(i, :);
end
if fitness > Alpha_score && fitness > Beta_score && fitness < Delta_score
Delta_score = fitness;
Delta_pos = Positions(i, :);
end
end
% 线性递减
a = 2 - l * 2 / Max_iter;
% 更新位置
for i = 1 : SearchAgents_no
for j = 1: dim
%%%%% 更新策略
r1 = rand();
r2 = rand();
A1 = 2*a*r1 - a;
C1 = 2*r2;
D_alpha = abs(C1*Alpha_pos(j) - Positions(i, j));
X1 = Alpha_pos(j) - A1*D_alpha;
r1 = rand();
r2 = rand();
A2 = 2*a*r1 - a;
C2 = 2*r2;
D_beta = abs(C2*Beta_pos(j) - Positions(i, j));
X2 = Beta_pos(j) - A2*D_beta;
r1 = rand();
r2 = rand();
A3 = 2*a*r1 - a;
C3 = 2*r2;
D_delta = abs(C3*Delta_pos(j) - Positions(i, j));
X3 = Delta_pos(j) - A3*D_delta;
Positions(i, j) = (X1 + X2 + X3) / 3;
end
end
Convergence_curve(l) = Alpha_score;
end
disp(['最优值：' num2str(Alpha_pos)]);
disp(['最优值对应目标函数：' num2str(Convergence_curve(end))]);
subplot(1, 2, 1)
plot(Convergence_curve, 'LineWidth', 2);
xlabel('迭代次数');
ylabel('适应度值');
title('适应度曲线');
len = 50;
xRange = linspace(lb(1), ub(1), len);
yRange = linspace(lb(2), ub(2), len);
[xMap, yMap] = meshgrid(xRange, yRange);
zMap = zeros(len);
for i = 1 : len
for j = 1 : len
zMap(i, j) = ObjFun([xMap(i, j), yMap(i, j)]);
end
end
subplot(1, 2, 2)
surf(xRange, yRange, zMap);
view(-45, -45);
shading interp
hold on
plot3(Alpha_pos(1), Alpha_pos(2), ObjFun(Alpha_pos), 'o', 'MarkerFaceColor', 'r', 'MarkerSize', 10);
hold off
set(gcf, 'Position', [400, 200, 900, 400]);
function result = ObjFun(x)
x1 = x(1);
x2 = x(2);
t = x1^2 + x2^2;
result = 0.5 + (sin(sqrt(t))^2 - 0.5) / (1 + 0.001 * t)^2;
end
参考文献
https://zhuanlan.zhihu.com/p/416365776
https://zhuanlan.zhihu.com/p/361705758
张晓凤, 王秀英. 灰狼优化算法研究综述[J]. 计算机科学, 2019, 046(003):30-38.
Mirjalili S, Mirjalili SM, Lewis A. Grey wolf optimizer. Adv Eng Software 2014;69:46–61
Original: https://blog.csdn.net/qq_18055167/article/details/125305688
Author: zoujiahui_2018
Title: 智能优化算法–灰狼算法
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