一、什么是delta方法
众所周知，当一个变量X X X服从正态分布时，其线性变换也服从正态分布。那么非线性变换呢？
delta方法提出，其经过可导函数变换后得到的g ( X ) g(X)g (X )仍然概率趋向正态分布，并且提供了期望、方差的计算公式。
单变量X X X 变换为 g ( X ) g(X)g (X )，对g ( X ) g(X)g (X )泰勒展开：
g ( X ) ≈ g ( θ ) + g ′ ( θ ) ( X − θ ) g(X) \approx g(\theta) + g'(\theta)(X – \theta)g (X )≈g (θ)+g ′(θ)(X −θ)
g ( X ) − g ( θ ) ≈ g ′ ( θ ) ( X − θ ) → ν N ( 0 , σ 2 ∗ [ g ‘ ( θ ) ] 2 ) g(X) – g(\theta) \approx g'(\theta)(X – \theta) \overset{\nu }{\rightarrow} N(0, \sigma^2 * [g'(\theta)]^2)g (X )−g (θ)≈g ′(θ)(X −θ)→νN (0 ,σ2 ∗[g ‘(θ)]2 )
g ( θ ) g(\theta)g (θ)为常数，故g ( X ) → N ( 0 , σ 2 ∗ [ g ′ ( θ ) ] 2 ) g(X) {\rightarrow} N(0, \sigma^2 * [g'(\theta)]^2)g (X )→N (0 ,σ2 ∗[g ′(θ)]2 )
多变量变换同样能得到分布的期望和方差，常用于计算两随机变量之商Y X \frac{Y}{X}X Y 的分布和方差
E ( Y X ) = E ( Y ) E ( X ) E(\frac{Y}{X})=\frac{E(Y)}{E(X)}E (X Y )=E (X )E (Y )
v a r ( Y X ) = v a r ( X ) Y 2 + X 2 v a r ( Y ) Y 4 − 2 X c o v ( X , Y ) Y 3 var(\frac{Y}{X})=\frac{var(X)}{Y^2}+\frac{X^2var(Y)}{Y^4}-2\frac{Xcov(X,Y)}{Y^3}v a r (X Y )=Y 2 v a r (X )+Y 4 X 2 v a r (Y )−2 Y 3 X co v (X ,Y )
二、应用背景
AB测试中的 随机化分流单元（Randomization Unit） 和指标的 分析单元（Analysis Unit） 不同时。中心极限定理要求样本点之间是独立的。AB实验中的分流单元是用户，即用户与用户之间独立。
- “人均”型指标的分析单元是用户，每个用户的取值为X 1 X_1 X 1 ，X 2 X_2 X 2 ，X 3 X_3 X 3 …互相独立，此时X ˉ \bar{X}X ˉ可以用z z z检验。
- 点击率的分析单元是”每次曝光”，即是在曝光次数上求均值，样本点是X 11 X_{11}X 11 ，X 12 X_{12}X 12 ，X 13 X_{13}X 13 …，X i j X_{ij}X ij 可看作第i i i个用户第j j j次曝光时是否点击，多次曝光互相之间不独立，无法用z z z检验。
解决方法：分子分母同时除以人数n n n，使用delta检验，得到c t r ˉ \bar{ctr}c t r ˉ服从正态分布，且可求得均值和方差。计算方差需要人均点击数/人均曝光量的均值和方差、以及人均点击和人均曝光的协方差。
进而计算统计量即可
; 参考文献
https://www.jianshu.com/p/917dc1584452
https://toutiao.io/posts/q660w08/preview
Original: https://blog.csdn.net/yike330/article/details/126019777
Author: Coco-Lele
Title: delta method 介绍
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