理解监督学习的基本原理和概念
监督学习是机器学习中最常用的方法之一，其基本目标是通过使用已知输入和输出（标签）的数据来构建一个函数，该函数可以将未知输入映射到相应的输出。监督学习算法主要分为分类和回归两类。分类问题旨在预测离散的类别标签，而回归问题则用于预测连续的数值。
算法原理
监督学习中最常用的算法之一是线性回归算法。该算法的基本原理是通过拟合数据点与线性函数的最小平方差来找到最佳拟合曲线。当输入变量（x）和输出变量（y）之间存在线性关系时，线性回归算法非常适用。
假设我们有n个数据点，每个数据点用一个特征向量x和相应的输出变量y表示。我们可以将这个问题建模为一个最小化误差的最优化问题。线性回归模型通过假设输出变量和一组特征之间的关系是线性的来拟合数据。
设我们的线性模型为h(x) = w₀ + w₁x₁ + w₂x₂ + … + wₙxₙ，其中w₀是偏差（截距），而w₁到wₙ是线性模型的权重。
我们的目标是通过最小化成本函数J(w)来找到最佳的参数向量w，其表示为：
J(w) = (1/2n) * Σ(h(xⁱ) – yⁱ)²
其中，n表示数据点的数量，xⁱ是第i个数据点的特征向量，yⁱ是相应的输出变量。
公式推导
为了找到最小化成本函数J(w)的最优参数向量w，我们使用梯度下降算法。梯度下降算法的基本思想是通过迭代调整参数向量w来逐步降低成本函数J(w)。
我们首先计算成本函数J(w)对每个参数w的偏导数，然后使用梯度下降公式来更新参数向量w：
wⱼ := wⱼ – α * (1/n) * Σ(h(xⁱ) – yⁱ) * xⁱⱼ
其中，j表示参数向量w中的某个索引，α是学习率，决定了参数向量w在每次迭代中的变化幅度。学习率过大可能导致无法收敛，而学习率过小可能导致收敛速度过慢。
重复以上步骤直到收敛，即成本函数J(w)不再显著变化。
计算步骤
- 初始化参数向量w，设定学习率α和迭代次数。
- 迭代更新参数向量w，直到成本函数J(w)不再显著变化。
- 根据最终的参数向量w，预测新的输入值的输出结果。
Python代码示例
下面是一个使用Python实现线性回归算法的示例：
import numpy as np
# 生成虚拟数据集
np.random.seed(0)
n = 100
X = np.random.rand(n, 1)
y = 2 + 3 * X + np.random.randn(n, 1)
# 初始化参数向量w，学习率α和迭代次数
w = np.zeros((2, 1))
alpha = 0.01
iterations = 1000
# 梯度下降算法
for i in range(iterations):
# 计算预测值
y_pred = np.dot(X, w[1]) + w[0]
# 计算梯度
gradient = np.dot(X.T, y_pred - y) / n
# 更新参数向量w
w -= alpha * gradient
# 打印最终的参数向量w
print("w0 =", w[0][0])
print("w1 =", w[1][0])
# 预测新的输入值的输出结果
new_X = np.array([[0.5], [0.8]])
new_y_pred = np.dot(new_X, w[1]) + w[0]
print("Predictions for new inputs:")
for i in range(len(new_X)):
print("Input:", new_X[i][0], "Prediction:", new_y_pred[i][0])
代码细节解释
- 首先导入必要的Python库，包括numpy用于数值计算。
- 生成虚拟数据集，其中样本数为100，特征向量X为一个在[0, 1)范围内的随机数，输出变量y为2 + 3X + 噪声项。
- 初始化参数向量w为全0向量，学习率α为0.01，迭代次数为1000。
- 使用梯度下降算法迭代更新参数向量w。首先计算预测值y_pred，然后计算梯度gradient，最后更新参数向量w。
- 打印最终的参数向量w，即回归方程的截距w0和斜率w1。
- 根据最终的参数向量w，使用新的输入值预测输出结果。
以上代码展示了使用梯度下降算法实现线性回归的全过程。通过迭代更新参数向量w，我们可以逐步优化回归模型，使其更好地拟合数据。
原创文章受到原创版权保护。转载请注明出处：https://www.johngo689.com/824934/
转载文章受原作者版权保护。转载请注明原作者出处！