[X_{t} – \phi X_{t-1} = Z_{t} + \theta Z_{t-1} ]
where (|\phi| < 1) and (\left{ Z_{t} \right} \sim WN(0, ~ \sigma^{2}))。
它的 ACVF (autocovariance function) 可以通过改写为 linear process 的形式的方法求出，其中 linear process 定义为一个 time series (\left{ X_{t} \right}) which can be written as:
[X_{t} = \sum\limits^{\infty}{j = -\infty} \varphi{j} Z_{t – j} ]
其中对于(\forall j \in \mathbb{Z})，系数 (\varphi_{j}) 为常数，并且(\left{ Z_{t} \right} \sim WN(0, ~ \sigma^{2}))。
对于上述的一个 linear process，它的 ACVF 为：
[\gamma (h) = \sigma^2 \sum\limits^{\infty}{j = -\infty} \varphi{j}\varphi_{j+h} ]
这是因为：
[\begin{align} \gamma(h) & = Cov(X_{t+h}, ~ X_{t})\ & = Cov(\sum\limits^{\infty}{j = -\infty} \varphi{j} Z_{t + h – j}, ~ \sum\limits^{\infty}{j = -\infty} \varphi{j} Z_{t – j}) \ & = Cov(\sum\limits^{\infty}{i = -\infty} \varphi{i} Z_{t + h – i}, ~ \sum\limits^{\infty}{j = -\infty} \varphi{j} Z_{t – j}) \end{align} ]
由于 (Z_{t} \sim WN(0, ~ \sigma^2))，那么：
[Cov(Z_{t}, ~ Z_{t}) = Var(Z_{t}) = \sigma^2 ]
并且对于 (\forall s \neq t)：
[Cov(Z_{s}, ~ Z_{t}) = 0 ]
因此观察 (Cov(\sum\limits^{\infty}{i = -\infty} \varphi{i} Z_{t + h – i}, ~ \sum\limits^{\infty}{j = -\infty} \varphi{j} Z_{t – j}))，将它逐项展开后，当且仅当 (Z_{t+h-i}) 和 (Z_{t-j}) 为同一个随机变量时，有：
[Cov(Z_{t+h-i}, ~ Z_{t-j}) = \sigma^{2} ]
否则：
[Cov(Z_{t+h-i}, ~ Z_{t-j}) = 0 ]
也就是说，当且仅当下标满足 (t + h – i = t – j \implies i = j + h) 时，展开后的该项不为 (0)。那么不为零的各项前面的系数应是 (\varphi_{j}) 和 (\varphi_{j+h})，且值为 (\sigma^{2})，即：
[\gamma (h) = \sigma^2 \sum\limits^{\infty}{j = -\infty} \varphi{j}\varphi_{j+h} ]
推导如下：
(ARMA(1, 1)) 的 LHS：
[\begin{align} X_{t} – \phi X_{t-1} & = X_{t} – \phi B X_{t}\ & = (1 – \phi B) X_{t} \end{align} ]
其中 (B) 为 backward shift operater，那么 (ARMA(1, ~ 1)) process 可以继续做如下变换：
[\begin{align} X_{t} & = \frac{1}{1 – \phi B} (Z_{t} + \theta Z_{t-1})\ & = (1 + \phi B + \phi^{2} B^{2} + \phi^{3} B^{3} + \cdots) (Z_{t} + \theta Z_{t-1})\ & = (Z_{t} + \phi B Z_{t} + \phi^{2} B^{2} Z_{t} + \phi^{3} B^{3} Z_{t} + \cdots) + (\theta Z_{t-1} + \theta \phi B Z_{t-1} + \theta \phi^{2} B^{2} Z_{t-1} + \theta \phi^{3} B^{3} Z_{t-1} +\cdots)\ & = (Z_{t} + \phi Z_{t-1} + \phi^{2} Z_{t-2} + \phi^{3}Z_{t-3} + \cdots) + (\theta Z_{t-1} + \theta \phi Z_{t-2} + \theta \phi^{2} Z_{t-3} + \cdots)\ & = Z_{t} + (\phi + \theta) Z_{t-1} + \phi (\phi + \theta) Z_{t-2} + \phi^{2} (\phi + \theta) Z_{t-3} + \cdots \end{align} ]
因此它可以写作 linear process 的形式：
[X_{t} = \sum\limits^{\infty}{j = 0} \varphi{j} Z_{t – j} ]
其中，(\varphi_{0} = 1)，(\varphi_{j} = \phi^{j-1}(\phi + \theta)) for (j \geq 1)。
因此它的 ACVF 为：
- 当 (h \geq 1)： [\begin{align} \gamma (h) & = \sigma^2 \sum\limits^{\infty}{j = 0} \varphi{j}\varphi_{j+h}\ & = \sigma^{2} \left(\sum\limits^{\infty}{j = 1} \varphi{j}\varphi_{j+h} + \varphi_{0}\varphi_{h} \right)\ & = \sigma^{2} \left(\sum\limits^{\infty}{j = 1} \phi^{j+h-1}(\phi+\theta)\phi^{j-1}(\phi+\theta) + \varphi{h} \right)\ & = \sigma^{2} \left( \phi^{h-1} (\phi + \theta) + (\phi + \theta)^{2} \phi^{h} \sum\limits^{\infty}_{j=1}\phi^{2j-2} \right)\ & = \sigma^{2} \left( \phi^{h-1}(\phi+\theta) + \frac{(\phi+\theta)^{2}\phi^{h}}{1 – \phi^{2}} \right) \end{align} ]
- 当 (h = 0)： [\gamma(h) = \sigma^{2}\left( 1 + \frac{(\phi+\theta)^{2}}{1-\phi^{2}}\right) ]
Original: https://www.cnblogs.com/chetianjian/p/16436386.html
Author: 车天健
Title: ACVFofARMA(1,1)
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