本篇是”广义线性模型”系列推文的最后一篇，来介绍另外一种重要的广义线性模型：负二项回归。
同泊松回归一样，负二项回归也是计数模型。由于泊松回归的内在要求是因变量的数学期望和方差相等，而当数据序列出现”过度离散”（方差比理论值大）时，可有两种方式进行模型修正：
- 使用准泊松分布族；
- 改用负二项回归。
前者已经介绍过了，本篇来介绍后者——负二项回归。
模型形式
负二项回归的模型形式与泊松回归十分相似。
泊松回归：
负二项回归：
泊松分布与负二项分布有着内在的联系。当泊松分布的参数 不再是一个确定的数值，而是服从伽马分布进行变化时，此时的分布形式称为 伽马-泊松混合分布，负二项分布是伽马-泊松混合分布的特例。
《Modern Applied Statistics with S-PLUS》[1]上有关于负二项分布与泊松分布关系的描述：
负二项分布的方差恒大于数学期望，并受参数 的影响。从模型形式上看，负二项回归比泊松回归多了一个随机项 ：
- 为伽马分布的记号。
负二项分布
泊松分布的概率函数如下：
伽马分布 的概率密度函数如下：
为形状参数， 为逆尺度参数。数学期望 ，方差 。
伽马-泊松混合分布的概率密度函数如下：
负二项分布的概率函数如下：
对比伽马-泊松混合分布和负二项分布的概率（密度）函数，令 ， ，则二者相等。
负二项分布的意义：随机事件刚好第 次发生（不发生）时所经历的不发生（发生）的次数。
模型的R代码
负二项回归虽然属于广义线性模型，但在 stats工具包中并没有定义负二项分布族函数。
MASS工具包的 glm.nb函数可以进行负二项回归，并自动确定 参数的取值。
glm.nb(formula, data, weights,
subset, na.action,
start = NULL, etastart, mustart,
control = glm.control(...),
method = "glm.fit",
model = TRUE, x = FALSE, y = TRUE,
contrasts = NULL, ...,
init.theta, link = log)
MASS工具包的名称即上面提到的《Modern Applied Statistics with S-PLUS》的首字母缩写；glm.nb函数专门用于负二项回归，因此无需family参数。
library(MASS)
model.nb |z|)
## (Intercept) 2.89458 0.22842 12.672
MASS工具包还定义可以在 glm函数中使用的负二项分布族函数 negative.binomial：
negative.binomial(theta = stop("'theta' must be specified"),
link = "log")
使用 negative.binomial函数时需指定 参数。根据《Modern Applied Statistics with S-PLUS》中的方法，可以使用 MASS工具包中的 logtrans函数大致确定 的取值：
logtrans(Days ~ Eth + Sex + Age+ Lrn,
data = quine)
根据上图， 的最佳取值约等于2。
model.nb2 |t|)
## (Intercept) 2.88658 0.22715 12.708
相关阅读：
[1]
Venables, W. N. and Ripley, B. D. (1999) Modern Applied Statistics with S-PLUS. Third Edition. Springer .
Original: https://blog.csdn.net/weixin_54000907/article/details/117915956
Author: R语言学堂
Title: MASS | 广义线性模型（四）——负二项回归
原创文章受到原创版权保护。转载请注明出处：https://www.johngo689.com/690412/
转载文章受原作者版权保护。转载请注明原作者出处！