直方图均衡
定义
根据维基百科上的定义, 直方图均衡(Histogram Equalization)是图像处理领域中利用直方图对对比度进行调整的方法.
顾名思义, 直方图均衡是将直方图的分布(概率密度)调整为均匀分布.
为什么要做直方图均衡
根据信息论, 信息的熵越大, 包含的信息也就越多, 熵的计算公式如下:
H = − ∑ i = 0 n p ( x i ) l o g 2 ( p ( x i ) ) (1) H=-\sum_{i=0}^{n}p(x_i)log_2(p(x_i)) \tag{1}H =−i =0 ∑n p (x i )l o g 2 (p (x i ))(1 )
只有当 p ( x i ) p(x_i)p (x i ) 均匀分布时, 熵的值最大. 对应到图像上, 当图像直方图均匀分布时, 图像对比度最大. 如下图所示:
蓝色为原始图像直方图, 绿色为均衡后直方图, 对应的处理后的图像为:
可以看到, 直方图均衡处理后, 图像变得更加清晰了.
; 怎么做直方图均衡
知道了为什么, 就要知道怎么做. 一般直方图均值有以下几个步骤:
- 统计图像的直方图, 归一化到[0,1]
p r ( r k ) = n k H ∗ W , k = 0 , 1 , 2 , ⋅ , L − 1 (2) p_r(r_k)=\frac{n_k}{H*W}, k=0,1,2,\cdot,L-1 \tag{2}p r (r k )=H ∗W n k ,k =0 ,1 ,2 ,⋅,L −1 (2 )
- 计算映射函数
s k = T ( r k ) = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k p r ( r j ) (3) s_k=T(r_k)=(L-1)\sum_{j=0}^{k}p_r(r_j) \tag{3}s k =T (r k )=(L −1 )j =0 ∑k p r (r j )(3 )
式中, H H H, W W W 分别为图像的高和宽, n k n_k n k 表示灰度值为 r k r_k r k 的像素的个数, s k s_k s k 为变换后的灰度值, T ( r k ) T(r_k)T (r k ) 为映射函数, 计算过程使用了累计直方图.
- 利用得到的映射函数, 对图像进行处理
- 对于RGB图像, 可以转到HSV空间, 对V通道进行均衡后, 转回RGB空间, 如下图所示结果:
为什么可以这么做
知道怎么做了, 就要知道为什么可以这么做. 这里解释下为啥可以这么做, 即公式(3)是怎么得到的.
设原始直方图分为为
p r ( r k ) p_r(r_k)p r (r k )
均衡化后的直方图分布为
p s ( s k ) = 1 L − 1 (4) p_s(s_k)=\frac{1}{L-1} \tag{4}p s (s k )=L −1 1 (4 )
映射函数为
s k = T ( r k ) s_k=T(r_k)s k =T (r k )
这里映射函数必须为单调递增函数, 满足:
∫ 0 s k p s ( s ) d s = ∫ 0 r k p r ( r ) d r (5) \int_0^{s_k}p_s(s)ds=\int_0^{r_k}p_r(r)dr \tag{5}∫0 s k p s (s )d s =∫0 r k p r (r )d r (5 )
即对应区域间内像素点的总数是一样的, 如下图红色区域所示:
将公式(4)代入公式(5), 则有:
s k L − 1 = ∫ 0 r k p r ( r ) d r \frac{s_k}{L-1}=\int_0^{r_k}p_r(r)dr L −1 s k =∫0 r k p r (r )d r
因而, 可以得到:
s k = ( L − 1 ) ∫ 0 r k p r ( r ) d r (6) s_k=(L-1)\int_0^{r_k}p_r(r)dr \tag{6}s k =(L −1 )∫0 r k p r (r )d r (6 )
对应的离散形式为公式(3).
; 存在问题
-
如果映射函数为公式(6), 为连续形式, 这种映射是可逆的, 但更改为离散形式, 公式(3)后, 变成了不可逆的.
-
映射变换会丢失信息, 对出现比例很少的灰度进行合并, 从而会丢失部分细节.
-
对于占比例较多的灰度, 则会将其拉伸, 而导致其占据了更多的灰度, 压缩了其他灰度.
改进
直方图均衡过度的强调了灰度个数的重要性, 对数量多的灰度过度的进行了增强, 而图像中, 比例比不是很多的灰度往往更重要, 因而改进的方向就是减少数量多的灰度的影响, 我这里想到的有 3 种方法:
- 对直方图开根号, 减少数量多灰度的影响;
- 对直方图进行截断, 超过部分数量直接去除, 从而减小数量多灰度的影响;
- 在第2种方法的基础上, 将超出部分均匀的加到直方图的每个bin上(该想法来源于CLAHE);
这3种方法的映射关系曲线如下所示:
从图中可以看到, 原始的直方图均衡后图像最亮, 如下所示为几种方法的结果对比, 依次为原图, 原始直方图, 改进0, 改进1, 改进2:
可以看到, 直方图可以改善图像整体的质量, 但对于某些局部图像, 则由于直方图的性质导致过亮或者过暗.
; 小结
这里总结下直方图均衡化的优缺点:
- 直方图均衡化算法简单, 速度快;
- 可以改善图像整体质量;
- 但对于图像局部质量改善效果不是很好;
参考
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/44918476
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/78017679
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/37168516
- https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E6%96%B9%E5%9B%BE%E5%9D%87%E8%A1%A1%E5%8C%96
- https://blog.csdn.net/yanhe156/article/details/83083659
Original: https://blog.csdn.net/j05073094/article/details/120251878
Author: yfor
Title: 一文搞懂直方图均衡
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