在介绍双线性插值之前，我们先解释下 插值：百科的定义是插值是离散函数逼近的重要方法，利用函数通过的有限点的取值状况，估算出函数在临近处的近似值。
在图像领域，插值就是用来填充 图像变换时像素之间的空隙。插值算法有许多种，双线性插值只是其中一种。
线性插值
根据百科的介绍：线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式。线性插值的几何意义即为利用过A点和B点的 直线( y = k x + b ) (y=kx+b)(y =k x +b ) 来近似表示原函数。线性插值可以用来近似代替原函数，也可以用来计算得到查表过程中表中没有的数值。
那么如下图所示，假设已知 y 1 = f ( x 0 ) , y 2 = f ( x 1 ) y_1=f(x_0) , y_2=f(x_1)y 1 =f (x 0 ),y 2 =f (x 1 ) ，现在要通过线性插值的方式得到区间 [ x 0 , x 1 ] [x_0, x_1][x 0 ,x 1 ] 内任何一点的f ( x ) f(x)f (x )值。
y ′ − y 1 x ′ − x 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 \frac{y’-y_1}{x’-x_1} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}x ′−x 1 y ′−y 1 =x 2 −x 1 y 2 −y 1
变换得：
y ′ = x 2 − x ′ x 2 − x 1 y 1 + x ′ − x 1 x 2 − x 1 y 2 y’=\frac{x_2-x’}{x_2-x_1}y_1 + \frac{x’-x_1}{x_2-x_1}y_2 y ′=x 2 −x 1 x 2 −x ′y 1 +x 2 −x 1 x ′−x 1 y 2
; 双线性插值
双线性插值是有两个变量的线性插值算法的扩展，即两个变量分别做一次线性插值。
在此我们以百度百科提供的图作为参考，每个点的数值是由 z = f ( x , y ) z=f(x,y)z =f (x ,y ) 决定的，因此借鉴于线性插值算法，双线性插值，需要通过临近点计算出 ( x ′ , y ′ ) (x’,y’)(x ′,y ′) ，
放在二维俯视图上，如下图所示
⚠️注意：线性插值的结果与插值的顺序无关。
首先进行y方向的插值，然后进行x方向的插值，所得到的结果是一样的。双线性插值的结果与先进行哪个方向的插值无关。
在此以 先进行 x方向插值，再y方向插值为例：
- X方向的线性插值，Q11,Q21 中插入蓝色点R1，在 Q12,Q22 中插入蓝色点R2；
- Y方向的线性插值，通过第一步计算出的 R1与R2 在y方向上插值计算出P点。
由线性插值算法可以得到，R 1 R_1 R 1 的值为 ：
f ( R 1 ) = f ( x , y 1 ) = x 2 − x x 2 − x 1 f ( Q 11 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f ( Q 21 ) f(R_1)=f(x,y_1) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \quad\ =\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21})f (R 1 )=f (x ,y 1 )=x 2 −x 1 x 2 −x f (Q 1 1 )+x 2 −x 1 x −x 1 f (Q 2 1 )
同理，R 2 R_2 R 2 的值为：
f ( R 2 ) = f ( x , y 2 ) = x 2 − x x 2 − x 1 f ( Q 12 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f ( Q 22 ) f(R_2)=f(x,y_2) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \quad\ =\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22})f (R 2 )=f (x ,y 2 )=x 2 −x 1 x 2 −x f (Q 1 2 )+x 2 −x 1 x −x 1 f (Q 2 2 )
得到R 1 , R 2 R_1, R_2 R 1 ,R 2 的插值之后，再通过一次线性插值计算 P P P 点的插值。
f ( P ) = f ( x , y ) = y 2 − y y 2 − y 1 f ( R 1 ) + y − y 1 y 2 − y 1 f ( R 2 ) f(P)=f(x,y) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ =\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(R_2)f (P )=f (x ,y )=y 2 −y 1 y 2 −y f (R 1 )+y 2 −y 1 y −y 1 f (R 2 )
将上面的 R 1 , R 2 R_1, R_2 R 1 ,R 2 代入上式，得：
f ( P ) = f ( x , y ) = ( x 2 − x ) ( y 2 − y ) ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) f ( Q 11 ) + ( x − x 1 ) ( y 2 − y ) ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) f ( Q 21 ) + ( x 2 − x ) ( y − y 1 ) ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) f ( Q 12 ) + ( x − x 1 ) ( y − y 1 ) ( x 2 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) f ( Q 22 ) f(P)=f(x,y) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \ =\frac{(x_2-x)(y_2-y)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}f(Q_{11}) + \frac{(x-x_1)(y_2-y)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}f(Q_{21}) \ + \frac{(x_2-x)(y-y_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}f(Q_{12}) + \frac{(x-x_1)(y-y_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}f(Q_{22})f (P )=f (x ,y )=(x 2 −x 1 )(y 2 −y 1 )(x 2 −x )(y 2 −y )f (Q 1 1 )+(x 2 −x 1 )(y 2 −y 1 )(x −x 1 )(y 2 −y )f (Q 2 1 )+(x 2 −x 1 )(y 2 −y 1 )(x 2 −x )(y −y 1 )f (Q 1 2 )+(x 2 −x 1 )(y 2 −y 1 )(x −x 1 )(y −y 1 )f (Q 2 2 )
图像中的双线性插值
接触图像处理的小伙伴可能经常遇到图像放大等操作，即图像的上采样处理，此时很大一部分采用的便是双线性插值算法。
在图像中，双线性插值算法一般采用最邻近的4个像素点，因此x 2 − x 1 = 1 , y 2 − y 1 = 1 x_2-x_1=1, y_2-y_1=1 x 2 −x 1 =1 ,y 2 −y 1 =1，并且设 x − x − 1 = u , y − y 1 = v x-x-1=u, y-y_1=v x −x −1 =u ,y −y 1 =v，因此上述公式可以简化为：
f ( P ) = ( 1 − u ) ( 1 − v ) f ( Q 11 ) + u ( 1 − v ) f ( Q 21 ) + ( 1 − u ) v f ( Q 12 ) + u v f ( Q 22 ) f(P)=(1-u)(1-v)f(Q_{11}) + u(1-v)f(Q_{21}) \ \qquad \quad+(1-u)vf(Q_{12})\quad \quad + \quad uvf(Q_{22}) \qquad f (P )=(1 −u )(1 −v )f (Q 1 1 )+u (1 −v )f (Q 2 1 )+(1 −u )v f (Q 1 2 )+u v f (Q 2 2 )
; Pytorch 实现
在 Pytorch 中的 Upsample 算法，其实内部实现算法便是双线性插值处理即 'bilinear' 模式
import torch.nn.functional as F
F.interpolate(x, size=input_shape, mode='bilinear', align_corners=False)
mode (str) –
algorithm used for upsampling: 'nearest' | 'linear' | 'bilinear' |
'bicubic' | 'trilinear' | 'area' | 'nearest-exact'.
Default: 'nearest'
参考：
- https://blog.csdn.net/qq_37541097/article/details/112564822
Original: https://blog.csdn.net/ViatorSun/article/details/124517707
Author: ViatorSun
Title: 「解析」双线性插值
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