Lecture 8 虚拟变量回归
虚拟变量陷阱：实质是完全多重共线性
- 结构变化分析
- 交互效应分析 交互项： C = α + β Y + u C=\alpha+\beta Y+u C =α+βY +u β = β 1 + β 2 Z \beta=\beta_1+\beta_2Z β=β1 +β2 Z ⇒ C = α + ( β 1 + β 2 Z ) Y + u = α + β 1 Y + β 2 Y Z + u \Rightarrow C=\alpha+(\beta_1+\beta_2Z)Y+u=\alpha+\beta_1Y+\beta_2YZ+u ⇒C =α+(β1 +β2 Z )Y +u =α+β1 Y +β2 Y Z +u 刻画交互作用的方法，在变量为定性变量时， 是以乘法方式引入虚拟变量的。
- 分段回归分析 常用于时间序列，引入虚拟变量能够区分不同时期的影响的差别，而且两个时期的回归直线在1979年的观测值上交汇。知道一组转折点自变量和应变量的观测值( X 1979 , Y 1979 ) = ( X ∗ , Y ∗ ) (X_{1979},Y_{1979})=(X^,Y^)(X 1 9 7 9 ,Y 1 9 7 9 )=(X ∗,Y ∗)，创建一个虚拟变量:
D t = { 0 t < 1979 1 t ≥ 1979 Y t = β 0 + β 1 X t + β 2 ( X t − X ∗ ) D t + u t D_t= \begin{cases} 0& t
如果β 2 \beta_2 β2 显著不为0，则说明在1979年前后，X X X对Y Y Y的影响发生了明显改变。 - 盲点（异常值）分析 有时，若干观测点对应于特定的政治或者经济事件，它们与其余观测截然不同。我们可以采取 虚拟变量来描述这个异常点。若只有一个盲点，虚拟变量在该盲点观测值上取值为1，其余为0.
缺点：
E ( Y ∣ X ) = p = P ( Y + 1 ∣ X ) = G ( X β ) E(Y|X)=p=P(Y+1|X)=G(X\beta)E (Y ∣X )=p =P (Y +1 ∣X )=G (X β)
对Logit Model：G ( X β ) = Φ ( X β ) G(X\beta)=\Phi(X\beta)G (X β)=Φ(X β)
对Probit Model：G ( X β ) = Λ ( X β ) = exp ( X β ) 1 + exp ( X β ) G(X\beta)=\Lambda(X\beta)=\frac{\exp(X\beta)}{1+\exp(X\beta)}G (X β)=Λ(X β)=1 +exp (X β)exp (X β)
用ln ( p 1 − p ) = X β \ln(\frac{p}{1-p})=X\beta ln (1 −p p )=X β作自变量，ln ( p 1 − p ) \ln(\frac{p}{1-p})ln (1 −p p )被称作机会对数比率，也称作logit。
因变量对自变量的敏感度（Partical Effects）：
∂ p ∂ X = exp ( X β ) ( 1 + exp ( X β ) ) 2 β \frac{\partial p}{\partial X}=\frac{\exp(X\beta)}{(1+\exp(X\beta))^2}\beta ∂X ∂p =(1 +exp (X β))2 exp (X β)β
因变量对自变量的敏感度（Partical Effects）：
∂ p ∂ X = 1 2 π exp ( − ( X β ) 2 2 ) β \frac{\partial p}{\partial X}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(X\beta)^2}{2})\beta ∂X ∂p =2 π1 exp (−2 (X β)2 )β
极大似然估计
对数似然函数：
ln L = ∑ i = 1 n ( Y i ⋅ ln [ G ( X β ) ] + ( 1 − Y i ) ⋅ ln [ 1 − G ( X β ) ] ) \ln L=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\Big(Y_i\cdot\ln[G(X\beta)]+(1-Y_i)\cdot\ln[1-G(X\beta)]\Big)ln L =i =1 ∑n (Y i ⋅ln [G (X β)]+(1 −Y i )⋅ln [1 −G (X β)])
- 似然比检验（LR检验）：L R = − 2 ( ln L R − ln L U R ) ∼ χ 2 ( k ) LR=-2(\ln L_R-\ln L_{UR})\sim\chi^2(k)L R =−2 (ln L R −ln L U R )∼χ2 (k )，k k k个约束性条件 其中Restricted model为仅有常数项的模型，ln L R \ln L_R ln L R 是这个模型的对数似然比函数值； Unrestricted model为被估计模型，ln L U R \ln L_{UR}ln L U R 是这个模型的对数似然比函数值。
- Wald检验：W W W统计量
相当于是约束条件检验，其中受约束方程为去除某个（或者去除某q q q个）解释变量的方程。
- Wald受约束检验：H 0 = β ^ k = 0 H_0=\hat{\beta}k=0 H 0 =β^k =0，W ∼ χ 2 ( 1 ) W \sim \chi^2(1)W ∼χ2 (1 ) 或H 0 = β ^ k + 1 = ⋯ = β ^ k + q = 0 H_0=\hat{\beta}{k+1}=\dots=\hat{\beta}_{k+q}=0 H 0 =β^k +1 =⋯=β^k +q =0，W ∼ χ 2 ( q ) W \sim \chi^2(q)W ∼χ2 (q )
- 似然比检验：L R = − 2 ( ln L R − ln L U R ) ∼ χ 2 ( 1 ) LR=-2(\ln L_R-\ln L_{UR})\sim \chi^2(1)L R =−2 (ln L R −ln L U R )∼χ2 (1 ) 或∼ χ 2 ( q ) \sim \chi^2(q)∼χ2 (q )
把全样本分成G组
L R I = P s e u d o − R 2 = 1 − ln L U R ln L R LRI=Pseudo-R^2=1-\frac{\ln L_{UR}}{\ln L_R}\L R I =P s e u d o −R 2 =1 −ln L R ln L U R
如果模型是perfectly fitted，即当Y i = 1 Y_i=1 Y i =1，G ( X β ) = 1 G(X\beta)=1 G (X β)=1；Y i = 0 Y_i=0 Y i =0，G ( X β ) = 0 G(X\beta)=0 G (X β)=0
⇒ ln L = ∑ i = 1 n ( Y i ⋅ ln [ G ( X β ) ] + ( 1 − Y i ) ⋅ ln [ 1 − G ( X β ) ] ) = 0 ⇒ L R I = 1 − 0 L R \Rightarrow\ln L=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\Big(Y_i\cdot\ln[G(X\beta)]+(1-Y_i)\cdot\ln[1-G(X\beta)]\Big)=0\ \Rightarrow LRI=1-\frac{0}{L_R}⇒ln L =i =1 ∑n (Y i ⋅ln [G (X β)]+(1 −Y i )⋅ln [1 −G (X β)])=0 ⇒L R I =1 −L R 0
Original: https://blog.csdn.net/m0_55073049/article/details/125633627
Author: 一圈YQ
Title: 【中级计量经济学】Lecture 8 虚拟变量回归
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