阅读本文需要的背景知识点：线性回归、最大似然估计、一丢丢编程知识
一、引言
前面几节我们学习了标准线性回归，然后介绍了三种正则化的方法 – 岭回归、Lasso回归、弹性网络回归，这些线性模型解决的都是回归的问题。最开始还介绍了两种简单的算法-PLA与口袋算法，他们解决的是分类问题。
那么我们能使用回归的方式来解决分类问题么，答案是肯定的，这就是下面要介绍的模型 – 对数几率回归算法1（Logistic Regression Algorithm），也有被直译为逻辑回归。
二、模型介绍
对数几率回归的模型函数
既然要通过回归的方式来解决分类的问题，可以通过先进行回归分析，然后通过一个函数将连续的结果映射成离散的分类结果，例如下面的函数表达式：
y = { 0 ( f ( w T x ) ≤ C ) 1 ( f ( w T x ) > C ) y=\left{\begin{array}{ll} 0 & \left(f\left(w^{T} x\right) \leq C\right) \ 1 & \left(f\left(w^{T} x\right)>C\right) \end{array}\right.y ={0 1 (f (w T x )≤C )(f (w T x )>C )
在介绍对数几率回归模型之前，先来看看一类被称为 S 函数2（Sigmoid function）的函数，这类函数的图像成 S 型，其中最常见的一种函数为逻辑函数3（Logistic function），函数图像如下图所示：
通过图像可以看到，这个函数当自变量越大时，函数值越趋近于 1，当自变量最小时，函数值越趋近于 0，当自变量为 0 时，函数值为 0.5。当上面表达式中的 C 等于 0.5 时，可以看作将连续的结果映射成离散的结果。
逻辑函数的函数表达式为：
f ( z ) = 1 1 + e − z f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}f (z )=1 +e −z 1
将线性方程带入逻辑函数中，就得到了对数几率回归的函数方程：
f ( x ) = 1 1 + e − w T x f(x)=\frac{1}{1+e^{-w^Tx}}f (x )=1 +e −w T x 1
对数几率回归的代价函数
我们需要一个代价函数来表示数据拟合的情况，这时很容易想到的是使用与线性回归一样的均方差4（mean-square error / MSE）的方法来做为代价函数
Cost ( w ) = ∑ i = 1 N ( y − y ^ ) 2 \operatorname{Cost}(w)=\sum_{i=1}^{N}(y-\hat{y})^{2}C o s t (w )=i =1 ∑N (y −y ^)2
但对数几率回归是使用似然函数5（likelihood function）的对数形式来作为其代价函数，后面会说明为什么使用这种方式比MSE更合适。
最大似然估计：
考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为 p，抛出一个反面的概率记为 1 – p。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为 1/3、1/2、2/3 。这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。我们可以看到当 p = 2/3 时，似然函数取得值最大。
L ( p = 1 3 ∣ H = 49 , T = 31 ) = C 80 49 ( 1 3 ) 49 ( 1 − 1 3 ) 31 ≈ 0.000 L ( p = 1 2 ∣ H = 49 , T = 31 ) = C 80 49 ( 1 2 ) 49 ( 1 − 1 2 ) 31 ≈ 0.012 L ( p = 2 3 ∣ H = 49 , T = 31 ) = C 80 49 ( 2 3 ) 49 ( 1 − 2 3 ) 31 ≈ 0.054 \begin{array}{l} L\left(p=\frac{1}{3} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{1}{3}\right)^{49}\left(1-\frac{1}{3}\right)^{31} \approx 0.000 \ L\left(p=\frac{1}{2} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{1}{2}\right)^{49}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{31} \approx 0.012 \ L\left(p=\frac{2}{3} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^{49}\left(1-\frac{2}{3}\right)^{31} \approx 0.054 \end{array}L (p =3 1 ∣H =4 9 ,T =3 1 )=C 8 0 4 9 (3 1 )4 9 (1 −3 1 )3 1 ≈0 .0 0 0 L (p =2 1 ∣H =4 9 ,T =3 1 )=C 8 0 4 9 (2 1 )4 9 (1 −2 1 )3 1 ≈0 .0 1 2 L (p =3 2 ∣H =4 9 ,T =3 1 )=C 8 0 4 9 (3 2 )4 9 (1 −3 2 )3 1 ≈0 .0 5 4
第一种表示方式：
在二元分类的情况下，例如 y 取 0 或者 1，将对数几率回归的函数方程的结果看作概率，可以写作下式：
{ P ( y = 1 ∣ x , w ) = h ( x ) P ( y = 0 ∣ x , w ) = 1 − h ( x ) \left{\begin{array}{ll} P(y=1 \mid x, w)= & h(x) \ P(y=0 \mid x, w)= & 1-h(x) \end{array}\right.{P (y =1 ∣x ,w )=P (y =0 ∣x ,w )=h (x )1 −h (x )
由于 y 只能取 0 或者 1，可以将上面两个式写成一个式子：
P ( y ∣ x , w ) = h ( x ) y [ 1 − h ( x ) ] 1 − y P(y \mid x, w)=h(x)^{y}[1-h(x)]^{1-y}P (y ∣x ,w )=h (x )y [1 −h (x )]1 −y
写出似然函数，其中 N 为样本总数量，将每一个概率累乘就得到了似然函数：
L ( w ) = ∏ i = 1 N h ( X i ) y i [ 1 − h ( X i ) ] 1 − y i L(w)=\prod_{i=1}^{N} h\left(X_{i}\right)^{y_{i}}\left[1-h\left(X_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}L (w )=i =1 ∏N h (X i )y i [1 −h (X i )]1 −y i
在 w 的所有可能取值中找一个使得似然函数取到最大值，这时求得的解就是 w 的最大似然估计6（maximum likelihood estimation/MLE）
w = argmax w ( L ( w ) ) = argmax w ( ∏ i = 1 N h ( X i ) y i [ 1 − h ( X i ) ] 1 − y i ) w=\underset{w}{\operatorname{argmax}}(L(w))=\underset{w}{\operatorname{argmax}}\left(\prod_{i=1}^{N} h\left(X_{i}\right)^{y_{i}}\left[1-h\left(X_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}\right)w =w a r g m a x (L (w ))=w a r g m a x (i =1 ∏N h (X i )y i [1 −h (X i )]1 −y i )
由于带连乘运算的代价函数不好优化，这里我们对似然函数取自然对数并且取反，S 函数的取值为（0，1），似然函数的取值也是（0，1），对其取对数不影响其单调性。这样就得到了对数几率回归的代价函数：
Cost ( w ) = − ln L ( w ) = − ∑ i = 1 N ( y i ln h ( X i ) + ( 1 − y i ) ln ( 1 − h ( X i ) ) ) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=-\ln L(w) \ &=-\sum_{i=1}^{N}\left(y_{i} \ln h\left(X_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \ln \left(1-h\left(X_{i}\right)\right)\right) \end{aligned}C o s t (w )=−ln L (w )=−i =1 ∑N (y i ln h (X i )+(1 −y i )ln (1 −h (X i )))
由于加了一步取反的操作，这是就不是求最大值，而是将其改为求最小值：
w = argmin w ( − ∑ i = 1 N ( y i ln h ( X i ) + ( 1 − y i ) ln ( 1 − h ( X i ) ) ) ) w=\underset{w}{\operatorname{argmin}}\left(-\sum_{i=1}^{N}\left(y_{i} \ln h\left(X_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \ln \left(1-h\left(X_{i}\right)\right)\right)\right)w =w a r g m i n (−i =1 ∑N (y i ln h (X i )+(1 −y i )ln (1 −h (X i ))))
第二种表示方式：
我们先来看下 S 函数的一个性质：
f ( z ) = 1 1 + e − z = e z 1 + e z f ( − z ) = 1 1 + e z = 1 − f ( z ) \begin{aligned} f(z) &=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{e^{z}}{1+e^{z}} \ f(-z) &=\frac{1}{1+e^{z}}=1-f(z) \end{aligned}f (z )f (−z )=1 +e −z 1 =1 +e z e z =1 +e z 1 =1 −f (z )
在二元分类的情况下， 当 y 的值取 -1 或者 1 时，将对数几率回归的函数方程的结果看作概率，可以写作下式
{ P ( y = 1 ∣ x , w ) = h ( x ) = 1 1 + e − w T x P ( y = − 1 ∣ x , w ) = 1 − h ( x ) = h ( − x ) = 1 1 + e w T x \left{\begin{array}{l} P(y=1 \mid x, w)=h(x)=\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}} \ P(y=-1 \mid x, w)=1-h(x)=h(-x)=\frac{1}{1+e^{w^{T} x}} \end{array}\right.{P (y =1 ∣x ,w )=h (x )=1 +e −w T x 1 P (y =−1 ∣x ,w )=1 −h (x )=h (−x )=1 +e w T x 1
由于 y 只能取 -1 或者 1，可以将上面两个式写成一个式子：
P ( y ∣ x , w ) = 1 1 + e − y w T x P(y \mid x, w)=\frac{1}{1+e^{-y w^{T} x}}P (y ∣x ,w )=1 +e −y w T x 1
写出似然函数，其中 N 为样本总数量，将每一个概率累乘就得到了似然函数：
L ( w ) = ∏ i = 1 N 1 1 + e − y i w T X i L(w)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}}L (w )=i =1 ∏N 1 +e −y i w T X i 1
还是求最大似然估计：
w = argmax w ( ∏ i = 1 N 1 1 + e − y i w T X i ) w=\underset{w}{\operatorname{argmax}}\left(\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}}\right)w =w a r g m a x (i =1 ∏N 1 +e −y i w T X i 1 )
这里与第一种方式一样，我们对似然函数取自然对数并且取反，就得到了对数几率回归的代价函数：
Cost ( w ) = − ln L ( w ) = − ∑ i = 1 N ln 1 1 + e − y i w T X i = − ∑ i = 1 N ln 1 − ln ( 1 + e − y i w T X i ) = ∑ i = 1 N ln ( 1 + e − y i w T X i ) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=-\ln L(w) \ &=-\sum_{i=1}^{N} \ln \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}} \ &=-\sum_{i=1}^{N} \ln 1-\ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right) \ &=\sum_{i=1}^{N} \ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right) \end{aligned}C o s t (w )=−ln L (w )=−i =1 ∑N ln 1 +e −y i w T X i 1 =−i =1 ∑N ln 1 −ln (1 +e −y i w T X i )=i =1 ∑N ln (1 +e −y i w T X i )
也是求代价函数的最小值：
w = argmin w ( ∑ i = 1 N ln ( 1 + e − y i w T X i ) ) w=\underset{w}{\operatorname{argmin}}\left(\sum_{i=1}^{N} \ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right)\right)w =w a r g m i n (i =1 ∑N ln (1 +e −y i w T X i ))
在 sklearn 中使用的就是上面这个代价函数。
对数几率回归的正则化：
与线性回归一样，对数几率回归的代价函数也可以加上正则化的惩罚项，有两种方式来添加正则项，一个是给正则项添加系数来控制大小，另一个是给代价函数添加系数来控制大小，本质作用是一样的，在 sklearn 中使用的是（2）式中的形式。
L1 正则化：
Cost ( w ) L 1 = Cost ( w ) + λ ∥ w ∥ 1 ( 1 ) = C ⋅ Cost ( w ) + ∥ w ∥ 1 ( 2 ) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w){L 1} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda\|w\|{1} & (1) \ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\|w\|_{1} & (2) \end{aligned}C o s t (w )L 1 =C o s t (w )+λ∥w ∥1 =C ⋅C o s t (w )+∥w ∥1 (1 )(2 )
L2 正则化：
Cost ( w ) L 2 = Cost ( w ) + λ ∥ w ∥ 2 2 ( 1 ) = C ⋅ Cost ( w ) + ∥ w ∥ 2 2 ( 2 ) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w){L2} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda\|w\|{2}^2 & (1) \ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\|w\|_{2}^2 & (2) \end{aligned}C o s t (w )L 2 =C o s t (w )+λ∥w ∥2 2 =C ⋅C o s t (w )+∥w ∥2 2 (1 )(2 )
弹性网络正则化：
Cost ( w ) E N = Cost ( w ) + λ ρ ∥ w ∥ 1 + λ ( 1 − ρ ) 2 ∥ w ∥ 2 2 = C ⋅ Cost ( w ) + ρ ∥ w ∥ 1 + ( 1 − ρ ) 2 ∥ w ∥ 2 2 \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w){E N} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda \rho\|w\|{1}+\frac{\lambda(1-\rho)}{2}\|w\|{2}^{2} \ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\rho\|w\|{1}+\frac{(1-\rho)}{2}\|w\|_{2}^{2} \end{aligned}C o s t (w )E N =C o s t (w )+λρ∥w ∥1 +2 λ(1 −ρ)∥w ∥2 2 =C ⋅C o s t (w )+ρ∥w ∥1 +2 (1 −ρ)∥w ∥2 2
对数几率回归的代价函数最小化的优化方法有多种，例如前面几节介绍过的坐标下降法。无正则化或者L2正则化的情况下可以用梯度下降法7 （Gradient descent）、牛顿法8 （Newton’s method）来等等。
在 scikit-learn 中可以看到更多的优化方法，其中大多是前面提到算法的加速版本或是变体，例如随机平均梯度下降法（Stochastic Average Gradient / SAG）、随机平均梯度下降加速法（SAGA）、L-BFGS算法（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno / L-BFGS），后面会逐个介绍这些算法。
; 三、算法步骤
梯度下降法
梯度下降法与坐标下降法的思路一样，都是通过一次一次更新权重系数 w，一步一步的逼近代价函数的最小值。坐标下降法是通过固定某一个坐标轴，求出局部最优解，然后更新 w 的值。梯度下降法则是求出函数的梯度后，沿着梯度的反方向再找到一个合适的步长系数迭代更新 w 的值。
可以理解为碗中的一个小球从某一点自由滚落，必然会沿着变化量最大的方向移动，最后到达最低点。
坐标下降法 VS 梯度下降法
具体步骤：
（1）初始化权重系数 w，例如初始化为零向量
（2）计算下降方向，梯度下降法将梯度的反方向作为下降方向
Δ w = − ∂ Cost ( w ) ∂ w \Delta w = -\frac{\partial \operatorname{Cost}(w) }{\partial w}Δw =−∂w ∂C o s t (w )
（3）使用线搜索9 方法来计算下降的步长 α，以使每一步迭代都满足Wolfe条件10
（4）更新权重系数 w
w = w + α Δ w w=w+\alpha \Delta w w =w +αΔw
（5）重复步骤（2）～（4）直到梯度的大小足够小
牛顿法
牛顿法与梯度下降法一样，也是一种下降方法，两个算法的步骤大致相同，区别就在于选择的下降方向不一样。
绿色为梯度下降，红色为牛顿法，牛顿法的路径更加直接
具体步骤：
（1）初始化权重系数 w，例如初始化为零向量
（2）计算下降方向，牛顿法使用二阶泰勒展开，将黑塞矩阵的逆矩阵与梯度的乘积的反方向作为下降方向
Δ w = − H − 1 ∂ Cost ( w ) ∂ w \Delta w=-H^{-1} \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w}Δw =−H −1 ∂w ∂C o s t (w )
（3）使用线搜索9 方法来计算下降的步长 α，以使每一步迭代都满足Wolfe条件10
（4）更新权重系数 w
w = w + α Δ w w=w+\alpha \Delta w w =w +αΔw
（5）重复步骤（2）～（4）直到梯度的大小足够小
; 四、原理证明
对数几率回归的代价函数是凸函数
凸函数除了通过前面几节中介绍的方法判断外，如果函数是二阶可导的，当函数的黑塞矩阵是半正定的，该函数就为凸函数。
多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。
- 第一种代价函数：
（1）将代价函数连加运算去掉得到一个新函数
（2）带入 h(x)
（3）将 e 的指数符号变换一下
（4）对数除法展开为对数的减法
（5）展开括号
（6）第二项与第四项一样，化简得到
f ( w ) = − ( y ln h ( x ) + ( 1 − y ) ln ( 1 − h ( x ) ) ) ( 1 ) = − ( y ln 1 1 + e − w T x + ( 1 − y ) ln ( 1 − 1 1 + e − w T x ) ) ( 2 ) = − ( y ln e w T x 1 + e w T x + ( 1 − y ) ln ( 1 1 + e w T x ) ) ( 3 ) = − y ( w T x − ln ( 1 + e w T x ) ) − ( 1 − y ) ( 0 − ln ( 1 + e w T x ) ) ( 4 ) = − y w T x + y ( 1 + e w T x ) + ln ( 1 + e w T x ) − y ( 1 + e w T x ) ( 5 ) = ln ( 1 + e w T x ) − y w T x ( 6 ) \begin{aligned} f(w) &=-(y \ln h(x)+(1-y) \ln (1-h(x))) & (1)\ &=-\left(y \ln \frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}+(1-y) \ln \left(1-\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}\right)\right) & (2)\ &=-\left(y \ln \frac{e^{w^{T} x}}{1+e^{w^{T} x}}+(1-y) \ln \left(\frac{1}{1+e^{w^{T} x}}\right)\right) & (3)\ &=-y\left(w^{T} x-\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)\right)-(1-y)\left(0-\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)\right) & (4) \ &=-y w^{T} x+y\left(1+e^{w^{T} x}\right)+\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y\left(1+e^{w^{T} x}\right) & (5)\ &=\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y w^{T} x & (6) \end{aligned}f (w )=−(y ln h (x )+(1 −y )ln (1 −h (x )))=−(y ln 1 +e −w T x 1 +(1 −y )ln (1 −1 +e −w T x 1 ))=−(y ln 1 +e w T x e w T x +(1 −y )ln (1 +e w T x 1 ))=−y (w T x −ln (1 +e w T x ))−(1 −y )(0 −ln (1 +e w T x ))=−y w T x +y (1 +e w T x )+ln (1 +e w T x )−y (1 +e w T x )=ln (1 +e w T x )−y w T x (1 )(2 )(3 )(4 )(5 )(6 )
（1）上面得到的 f(w)
（2）根据求导公式求一阶导数
（3）利用 S 函数的性质，将分子化简一下并合并同类项
（4）根据求导公式求二阶导数
（5）整理一下结果，可以看到二阶导数是一个正数乘以一个由 x 向量与 x 向量组成的矩阵
f ( w ) = ln ( 1 + e w T x ) − y w T x ( 1 ) ∂ f ( w ) ∂ w = 1 1 + e w T x e w T x x − y x ( 2 ) = ( 1 1 + e − w T x − y ) x ( 3 ) ∂ 2 f ( w ) ∂ w ∂ w T = − 1 ( 1 + e − w T x ) 2 e − w T x x ( − x T ) ( 4 ) = e − w T x ( 1 + e − w T x ) 2 x x T ( 5 ) \begin{aligned} f(w) &=\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y w^{T} x & (1)\ \frac{\partial f(w)}{\partial w} &=\frac{1}{1+e^{w^{T} x}} e^{w^{T} x} x-y x & (2)\ &=\left(\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}-y\right) x & (3)\ \frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} &=-\frac{1}{\left(1+e^{-w^{T} x}\right)^{2}} e^{-w^{T} x}x(-x^{T}) & (4)\ &=\frac{e^{-w^{T} x}}{\left(1+e^{-w^{T} x}\right)^{2}} x x^{T} & (5) \end{aligned}f (w )∂w ∂f (w )∂w ∂w T ∂2 f (w )=ln (1 +e w T x )−y w T x =1 +e w T x 1 e w T x x −y x =(1 +e −w T x 1 −y )x =−(1 +e −w T x )2 1 e −w T x x (−x T )=(1 +e −w T x )2 e −w T x x x T (1 )(2 )(3 )(4 )(5 )
- 第二种代价函数：
（1）将代价函数连加运算去掉得到一个新函数
（2）根据求导公式求一阶导数
（3）利用 S 函数的性质，将分子化简一下
（4）根据求导公式求二阶导数
（5）y 的平方为 1，整理一下结果，可以看到二阶导数也是一个正数乘以一个由 x 向量与 x 向量组成的矩阵
f ( w ) = ln ( 1 + e − y w T x ) ( 1 ) ∂ f ( w ) ∂ w = 1 1 + e − y w T x e − y w T x ( − y x ) ( 2 ) = − y 1 + e y w T x x ( 3 ) ∂ 2 f ( w ) ∂ w ∂ w T = y ( 1 + e y w T x ) 2 e y w T x x ( y x T ) ( 4 ) = e y w T x ( 1 + e y w T x ) 2 x x T ( 5 ) \begin{aligned} f(w) &=\ln \left(1+e^{-y w^{T} x}\right) & (1)\ \frac{\partial f(w)}{\partial w} &=\frac{1}{1+e^{-y w^{T} x}} e^{-y w^{T} x}\left(-y x\right) & (2)\ &=-\frac{y}{1+e^{y w^{T} x}} x & (3)\ \frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} &=\frac{y}{\left(1+e^{y w^{T} x}\right)^{2}} e^{y w^{T} x} x \left(yx^{T}\right) & (4)\ &=\frac{e^{y w^{T} x}}{\left(1+e^{y w^{T} x}\right)^{2}} x x^{T} & (5) \end{aligned}f (w )∂w ∂f (w )∂w ∂w T ∂2 f (w )=ln (1 +e −y w T x )=1 +e −y w T x 1 e −y w T x (−y x )=−1 +e y w T x y x =(1 +e y w T x )2 y e y w T x x (y x T )=(1 +e y w T x )2 e y w T x x x T (1 )(2 )(3 )(4 )(5 )
（1）令二阶导数为 H 矩阵
（2）矩阵正定的判断方法，带入二阶导数，两种二阶导数的常数部分都用 C 表示，并且 C > 0
（3）利用转置的性质改写一下
（4）可以看到最后的结果大于等于 0，说明 H 为半正定矩阵
H = ∂ 2 f ( w ) ∂ w ∂ w T ( 1 ) v T H v = C ⋅ v T x x T v ( C > 0 ) ( 2 ) = C ⋅ ( x T v ) T ( x T v ) ( 3 ) = C ⋅ ∣ x T v ∣ 2 ≥ 0 ( 4 ) \begin{aligned} H &=\frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} & (1) \ v^{T} H v &=C \cdot v^{T} x x^{T} v \quad(C>0) & (2) \ &=C \cdot\left(x^{T} v\right)^{T}\left(x^{T} v\right) & (3) \ &=C \cdot\left|x^{T} v\right|^{2} \geq 0 & (4) \end{aligned}H v T H v =∂w ∂w T ∂2 f (w )=C ⋅v T x x T v (C >0 )=C ⋅(x T v )T (x T v )=C ⋅∣∣x T v ∣∣2 ≥0 (1 )(2 )(3 )(4 )
两种新函数的黑塞矩阵都是半正定的，那么新函数是凸函数，多个凸函数相加的函数依然是凸函数，则说明代价函数是一个凸函数，证毕。
- MSE 作为代价函数对错误数据的惩罚力度不足
当预测数据完全错误时（例如实际值为 0 预测值为 1，或实际值为 1 预测值为 0）
用MSE作为代价函数：
Cost = ( 1 − 0 ) 2 = 1 \text { Cost }=(1-0)^{2}=1 Cost =(1 −0 )2 =1
使用对数似然函数作为代价函数（第一种）：
Cost = − ( 1 ⋅ ln 0 + ( 1 − 1 ) ⋅ ln ( 1 − 0 ) ) = ∞ \text { Cost }=-(1 \cdot \ln 0+(1-1) \cdot \ln (1-0))=\infty Cost =−(1 ⋅ln 0 +(1 −1 )⋅ln (1 −0 ))=∞
使用对数似然函数作为代价函数（第二种）：
（1）实际值为 1 预测值为 -1
（2）预测值为 -1，其对应的h(x) = 0
（3）这时线性组合的值为负无穷大
（4）这时的代价为无穷大
y = 1 , y ^ = − 1 ( 1 ) h ( x ) = 0 ( 2 ) w T x = − ∞ ( 3 ) Cost = ln ( 1 + e − 1 ⋅ ( − ∞ ) ) = ∞ ( 4 ) \begin{aligned} & y=1, \hat{y}=-1 & (1)\ &h(x)=0 & (2)\ &w^{T} x=-\infty & (3)\ &\text { Cost }=\ln \left(1+e^{-1 \cdot(-\infty)}\right)=\infty & (4) \end{aligned}y =1 ,y ^=−1 h (x )=0 w T x =−∞Cost =ln (1 +e −1 ⋅(−∞))=∞(1 )(2 )(3 )(4 )
可以看到 MSE 的代价值远远小于对数似然函数的代价值，说明 MSE 的代价函数不会重重地惩罚错误分类，哪怕是完全错误的分类。
- MSE 作为代价函数不是一个凸函数
先来看下上面 S 函数导函数的一个性质，下面会用到这个性质：
h ( z ) = 1 1 + e − z ∂ h ( z ) ∂ z = − 1 ( 1 + e − z ) 2 e − z ( − 1 ) = e − z ( 1 + e − z ) 2 = 1 1 + e − z e − z 1 + e − z = h ( z ) ( 1 − h ( z ) ) \begin{aligned} h(z) &=\frac{1}{1+e^{-z}} \ \frac{\partial h(z)}{\partial z} &=-\frac{1}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}} e^{-z}(-1) \ &=\frac{e^{-z}}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}} \ &=\frac{1}{1+e^{-z}} \frac{e^{-z}}{1+e^{-z}} \ &=h(z)(1-h(z)) \end{aligned}h (z )∂z ∂h (z )=1 +e −z 1 =−(1 +e −z )2 1 e −z (−1 )=(1 +e −z )2 e −z =1 +e −z 1 1 +e −z e −z =h (z )(1 −h (z ))
（1）将 MSE 作为代价函数
（2）求一阶导数，由于直接对 w 求导较为复杂，所以拆解为两步求导
（3）先对 y ^ \hat{y}y ^ 求导，后面再对 w 求导，用到了上面说的 S 函数的性质，注意最后还有一个 x
（4）展开括号
（5）求二阶导数，也是拆解为两步求导
（6）先对 y ^ \hat{y}y ^ 求导，后面再对 w 求导
Cost ( w ) = ( y − y ^ ) 2 ( 1 ) ∂ Cost ( w ) ∂ w = ∂ Cost ( w ) ∂ y ^ ∂ y ^ ∂ w ( 2 ) = 2 ( y − y ^ ) ( − 1 ) y ^ ( 1 − y ^ ) x ( 3 ) = − 2 ( y y ^ − y ^ 2 − y y ^ 2 + y ^ 3 ) x ( 4 ) ∂ 2 Cost ( w ) ∂ w ∂ w T = ∂ ∂ Cost ( w ) ∂ w ∂ y ^ ∂ y ^ ∂ w T ( 5 ) = − 2 ( y − 2 y ^ − 2 y y ^ + 3 y ^ 2 ) y ^ ( 1 − y ^ ) x x T ( 6 ) \begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=(y-\hat{y})^{2} & (1)\ \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w} &=\frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial \hat{y}} \frac{\partial \hat{y}}{\partial w} & (2)\ &=2(y-\hat{y})(-1) \hat{y}(1-\hat{y}) x & (3)\ &=-2\left(y \hat{y}-\hat{y}^{2}-y \hat{y}^{2}+\hat{y}^{3}\right) x & (4)\ \frac{\partial^{2} \operatorname{Cost}(w)}{\partial w\partial w^T} &=\frac{\partial \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w}}{\partial \hat{y}} \frac{\partial \hat{y}}{\partial w^T} & (5)\ &=-2\left(y-2 \hat{y}-2 y \hat{y}+3 \hat{y}^{2}\right) \hat{y}(1-\hat{y}) xx^{T} & (6) \end{aligned}C o s t (w )∂w ∂C o s t (w )∂w ∂w T ∂2 C o s t (w )=(y −y ^)2 =∂y ^∂C o s t (w )∂w ∂y ^=2 (y −y ^)(−1 )y ^(1 −y ^)x =−2 (y y ^−y ^2 −y y ^2 +y ^3 )x =∂y ^∂∂w ∂C o s t (w )∂w T ∂y ^=−2 (y −2 y ^−2 y y ^+3 y ^2 )y ^(1 −y ^)x x T (1 )(2 )(3 )(4 )(5 )(6 )
同上面证明一样，现在只需要看常数项是否是大于等于 0
（1）当 y = 1 时，带入二阶导函数中
（2）因式分解
（3）可以看到，当 y ^ \hat{y}y ^ 取不同范围的时候，常数项不是一直都是大于等于 0 的
g ( y ^ ) = − 2 ( 1 − 4 y ^ + 3 y ^ 2 ) ( y = 1 ) ( 1 ) = − 2 ( 3 y ^ − 1 ) ( y ^ − 1 ) ( 2 ) ⇒ { y ^ ∈ [ 0 , 1 3 ) g ( y ^ ) < 0 y ^ ∈ [ 1 3 , 1 ] g ( y ^ ) ≥ 0 ( 3 ) \begin{aligned} g(\hat{y}) &=-2\left(1-4 \hat{y}+3 \hat{y}^{2}\right) \quad(y=1) & (1) \ &=-2(3 \hat{y}-1)(\hat{y}-1) & (2) \ & \Rightarrow\left{\begin{array}{ll} \hat{y} \in\left[0, \frac{1}{3}\right) & g(\hat{y})
（1）当 y = 0 时，带入二阶导函数中
（2）因式分解
（3）可以看到，当 y ^ \hat{y}y ^ 取不同范围的时候，常数项也不是一直都是大于等于 0 的
g ( y ^ ) = − 2 ( 3 y ^ 2 − 2 y ^ ) ( y = 0 ) ( 1 ) = − 2 y ^ ( 3 y ^ − 2 ) ( 2 ) ⇒ { y ^ ∈ [ 0 , 2 3 ] g ( y ^ ) ≥ 0 y ^ ∈ ( 2 3 , 1 ] g ( y ^ ) < 0 ( 3 ) \begin{array}{rlr} g(\hat{y}) & =-2\left(3 \hat{y}^{2}-2 \hat{y}\right) \quad (y=0) & (1)\ & =-2 \hat{y}(3 \hat{y}-2) & (2)\ & \Rightarrow\left{\begin{aligned} \hat{y} \in\left[0, \frac{2}{3}\right] & g(\hat{y}) \geq 0 \ \hat{y} \in\left(\frac{2}{3}, 1\right] & g(\hat{y})
由于使用MSE作为代价函数的黑塞矩阵不能保证是半正定的，说明其代价函数不是一个凸函数。
梯度下降法的下降方向
先来看下一元的泰勒公式12 ，其中 o(…) 表示括号内式子的高阶无穷小，多元泰勒公式就是前面的一、二阶导数改写成雅可比矩阵和黑塞矩阵的形式：
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ( 2 ) ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + o ( ( x − a ) n ) f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+o\left((x-a)^{n}\right)f (x )=f (a )+1 !f ′(a )(x −a )+2 !f (2 )(a )(x −a )2 +⋯+n !f (n )(a )(x −a )n +o ((x −a )n )
我的目标是每次迭代后的代价函数值比上次都小：
Cost ( w n + 1 ) < Cost ( w n ) \operatorname{Cost}(w_{n+1}) \lt \operatorname{Cost}(w_{n})C o s t (w n +1 )<C o s t (w n )
将对数几率回归的代价函数用多元的一阶泰勒公式近似，雅可比矩阵为代价函数的梯度：
Cost ( w ) ≈ Cost ( A ) + ∇ Cost ( A ) T ( w − A ) \operatorname{Cost}(w) \approx \operatorname{Cost}(A)+\nabla \operatorname{Cost}(A)^{T}(w-A)C o s t (w )≈C o s t (A )+∇C o s t (A )T (w −A )
（1）将 w n w_n w n 带入 A，w n + 1 w_{n+1}w n +1 带入 w
（2）w n + 1 − w n = Δ w w_{n+1} – w_n = Δw w n +1 −w n =Δw，移项可以看到需要保证梯度乘 Δw 小于 0
（3）当 Δw 为负的梯度时，可以保证梯度乘 Δw 小于 0
（4）这样就得到了梯度下降的下降方向
Cost ( w n + 1 ) ≈ Cost ( w n ) + ∇ Cost ( w n ) T ( w n + 1 − w n ) ( 1 ) Cost ( w n + 1 ) − Cost ( w n ) ≈ ∇ Cost ( w n ) T Δ w < 0 ( 2 ) ∇ Cost ( w n ) T Δ w = − ∇ Cost ( w n ) T ∇ Cost ( w n ) < 0 ( 3 ) Δ w = − ∇ Cost ( w n ) ( 4 ) \begin{aligned} \operatorname{Cost}\left(w_{n+1}\right) & \approx \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)+\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T}\left(w_{n+1}-w_{n}\right) & (1) \ \operatorname{Cost}\left(w_{n+1}\right)-\operatorname{Cost}\left(w_{n}\right) & \approx \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T} \Delta w
牛顿法的下降方向
将对数几率回归的代价函数用多元的二阶泰勒公式近似，雅可比矩阵为代价函数的梯度，H 为代价函数的黑塞矩阵：
Cost ( w ) ≈ Cost ( A ) + ∇ Cost ( A ) T ( w − A ) + 1 2 ( w − A ) T H ( w − A ) \operatorname{Cost}(w) \approx \operatorname{Cost}(A)+\nabla \operatorname{Cost}(A)^{T}(w-A)+\frac{1}{2}(w-A)^{T} H(w-A)C o s t (w )≈C o s t (A )+∇C o s t (A )T (w −A )+2 1 (w −A )T H (w −A )
（1）将 w n w_n w n 带入 A，并对近似函数求梯度，另梯度等于 0 向量，这时取得当前的极小值
（2）这样就得到了牛顿法的下降方向
∇ Cost ( w ) = ∇ Cost ( w n ) + H ( w − w n ) = 0 ( 1 ) w = w n − H − 1 ∇ Cost ( w n ) ( 2 ) \begin{aligned} \nabla \operatorname{Cost}(w) &=\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)+H\left(w-w_{n}\right)=0 & (1) \ w &=w_{n}-H^{-1} \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right) & (2) \end{aligned}∇C o s t (w )w =∇C o s t (w n )+H (w −w n )=0 =w n −H −1 ∇C o s t (w n )(1 )(2 )
五、代码实现
使用 Python 实现对数几率回归算法（梯度下降法）：
import numpy as np
c_1 = 1e-4
c_2 = 0.9
def cost(X, y, w):
"""
对数几率回归的代价函数
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
return:
代价函数值
"""
power = -np.multiply(y, X.dot(w))
p1 = power[power 0]
p2 = -power[-power < 0]
return np.sum(np.log(1 + np.exp(p1))) + np.sum(np.log(1 + np.exp(p2)) - p2)
def dcost(X, y, W):
"""
对数几率回归的代价函数的梯度
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
return:
代价函数的梯度
"""
return X.T.dot(np.multiply(-y, 1 / (1 + np.exp(np.multiply(y, X.dot(w))))))
def direction(d):
"""
更新的方向
args:
d - 梯度
return:
更新的方向
"""
return -d
def sufficientDecrease(X, y, w, step):
"""
判断是否满足充分下降条件（sufficient decrease condition）
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
step - 步长
return:
是否满足充分下降条件
"""
d = dcost(X, y, w)
p = direction(d)
return cost(X, y, w + step * p) cost(X, y, w) + c_1 * step * p.T.dot(d)
def curvature(X, y, w, step):
"""
判断是否满足曲率条件（curvature condition）
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
step - 步长
return:
是否满足曲率条件
"""
d = dcost(X, y, w)
p = direction(d)
return -p.T.dot(dcost(X, y, w + step * p)) -c_2 * p.T.dot(d)
def select(step_low, step_high):
"""
在范围内选择一个步长，直接取中值
args:
step_low - 步长范围开始值
step_high - 步长范围结束值
return:
步长
"""
return (step_low + step_high) / 2
def lineSearch(X, y, w, step_init, step_max):
"""
线搜索步长，使其满足 Wolfe 条件
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
step_init - 步长初始值
step_max - 步长最大值
return:
步长
"""
step_i = step_init
step_low = step_init
step_high = step_max
i = 1
d = dcost(X, y, w)
p = direction(d)
while (True):
if (not sufficientDecrease(X, y, w, step_i) or (cost(X, y, w + step_i * p) >= cost(X, y, w + step_low * p) and i > 1)):
step_high = step_i
else:
if (curvature(X, y, w, step_i)):
return step_i
step_low = step_i
step_i = select(step_low, step_high)
i = i + 1
def logisticRegressionGd(X, y, max_iter=1000, tol=1e-4, step_init=0, step_max=10):
"""
对数几率回归，使用梯度下降法（gradient descent）
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
max_iter - 最大迭代次数
tol - 变化量容忍值
step_init - 步长初始值
step_max - 步长最大值
return:
w - 权重系数
"""
w = np.zeros(X.shape[1])
for it in range(max_iter):
d = dcost(X, y, w)
if np.linalg.norm(x=d, ord=1) tol:
break
step = lineSearch(X, y, w, step_init, step_max)
w = w + step * direction(d)
return w
使用 Python 实现对数几率回归算法（牛顿法）：
import numpy as np
c_1 = 1e-4
c_2 = 0.9
def cost(X, y, w):
"""
对数几率回归的代价函数
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
return:
代价函数值
"""
power = -np.multiply(y, X.dot(w))
p1 = power[power 0]
p2 = -power[-power < 0]
return np.sum(np.log(1 + np.exp(p1))) + np.sum(np.log(1 + np.exp(p2)) - p2)
def dcost(X, y, w):
"""
对数几率回归的代价函数的梯度
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
return:
代价函数的梯度
"""
return X.T.dot(np.multiply(-y, 1 / (1 + np.exp(np.multiply(y, X.dot(w))))))
def ddcost(X, y, w):
"""
对数几率回归的代价函数的黑塞矩阵
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
return:
代价函数的黑塞矩阵
"""
exp = np.exp(np.multiply(y, X.dot(w)))
result = np.multiply(exp, 1 / np.square(1 + exp))
X_r = np.zeros(X.shape)
for i in range(X.shape[1]):
X_r[:, i] = np.multiply(result, X[:, i])
return X_r.T.dot(X)
def direction(d, H):
"""
更新的方向
args:
d - 梯度
H - 黑塞矩阵
return:
更新的方向
"""
return - np.linalg.inv(H).dot(d)
def sufficientDecrease(X, y, w, step):
"""
判断是否满足充分下降条件（sufficient decrease condition）
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
step - 步长
return:
是否满足充分下降条件
"""
d = dcost(X, y, w)
H = ddcost(X, y, w)
p = direction(d, H)
return cost(X, y, w + step * p) cost(X, y, w) + c_1 * step * p.T.dot(d)
def curvature(X, y, w, step):
"""
判断是否满足曲率条件（curvature condition）
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
step - 步长
return:
是否满足曲率条件
"""
d = dcost(X, y, w)
H = ddcost(X, y, w)
p = direction(d, H)
return -p.T.dot(dcost(X, y, w + step * p)) -c_2 * p.T.dot(d)
def select(step_low, step_high):
"""
在范围内选择一个步长
args:
step_low - 步长范围开始值
step_high - 步长范围结束值
return:
步长
"""
return (step_low + step_high) / 2
def lineSearch(X, y, w, step_init, step_max):
"""
线搜索步长，使其满足 Wolfe 条件
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
w - 权重系数
step_init - 步长初始值
step_max - 步长最大值
return:
步长
"""
step_i = step_init
step_low = step_init
step_high = step_max
i = 1
d = dcost(X, y, w)
H = ddcost(X, y, w)
p = direction(d, H)
while (True):
if (not sufficientDecrease(X, y, w, step_i) or (cost(X, y, w + step_i * p) >= cost(X, y, w + step_low * p) and i > 1)):
step_high = step_i
else:
if (curvature(X, y, w, step_i)):
return step_i
step_low = step_i
step_i = select(step_low, step_high)
i = i + 1
def logisticRegressionNewton(X, y, max_iter=1000, tol=1e-4, step_init=0, step_max=10):
"""
对数几率回归，使用牛顿法（newton's method）
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
max_iter - 最大迭代次数
tol - 变化量容忍值
step_init - 步长初始值
step_max - 步长最大值
return:
w - 权重系数
"""
w = np.zeros(X.shape[1])
for it in range(max_iter):
d = dcost(X, y, w)
H = ddcost(X, y, w)
if np.linalg.norm(d) tol:
break
step = lineSearch(X, y, w, step_init, step_max)
w = w + step * direction(d, H)
return w
六、第三方库实现
scikit-learn13 实现无正则化的对数几率回归：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
reg = LogisticRegression(penalty="none")
reg.fit(X, y)
w = reg.coef_
b = reg.intercept_
scikit-learn13 实现L1正则化的对数几率回归：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
reg = LogisticRegression(penalty="l1", C=10, solver="liblinear")
reg.fit(X, y)
w = reg.coef_
b = reg.intercept_
scikit-learn13 实现L2正则化的对数几率回归：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
reg = LogisticRegression(penalty="l2", C=10)
reg.fit(X, y)
w = reg.coef_
b = reg.intercept_
scikit-learn13 实现弹性网络正则化的对数几率回归：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
reg = LogisticRegression(penalty="elasticnet", C=10, l1_ratio=0.5, solver="saga")
reg.fit(X, y)
w = reg.coef_
b = reg.intercept_
scikit-learn 每种优化方法所支持的正则项：
七、动画演示
下图展示了演示数据，其中红色表示标签值为1、蓝色表示标签值为-1：
下图为使用梯度下降法拟合数据的结果，其中浅红色表示拟合后根据权重系数计算出预测值为1的部分，浅蓝色表示拟合后根据权重系数计算出预测值为-1的部分：
下图对比了不同的正则化方式对结果的影响，正则化惩罚项系数 C = 0.01，弹性网络中 ρ = 0.5。
; 八、思维导图
九、参考文献
- https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_regression
- https://en.wikipedia.org/wiki/Sigmoid_function
- https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function
- https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_squared_error
- https://en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function
- https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood_estimation
- https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent
- https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method_in_optimization
- https://en.wikipedia.org/wiki/Line_search
- https://en.wikipedia.org/wiki/Wolfe_conditions
- https://towardsdatascience.com/why-not-mse-as-a-loss-function-for-logistic-regression-589816b5e03c
- https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
- https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.linear_model.LogisticRegression.html
完整演示请点击这里
注：本文力求准确并通俗易懂，但由于笔者也是初学者，水平有限，如文中存在错误或遗漏之处，恳请读者通过留言的方式批评指正
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Original: https://blog.csdn.net/sai_simon/article/details/122390597
Author: Saisimonzs
Title: 机器学习算法系列（七）-对数几率回归算法（一）（Logistic Regression Algorithm）
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