6 二次型 (\cdot) 矩阵的合同
1、定义1：数域K上一个 n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式，它的一般形式是
[\begin{aligned} &f(x_1,x_2,\dots,x_n)=&a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n&\ &&+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n&\ &&+\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad&\ &&+a_{nn}x_n^2 \end{aligned}\tag{1} ]
(1)式也可以写成
[f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j,\tag{2} ]
其中(a_{ij}=a_{ji},1\leqslant i,j\leqslant n)。把（2）式中的系数按原来顺序排成一个n级矩阵A：
[A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix},\tag{3} ]
[X=\begin{bmatrix}x_1\x_2\\vdots\x_n \end{bmatrix},\tag{4} ]
则二次型（1）可写成
[f(x_1,x_2,\dots,x_n)=X’AX,\tag{5} ]
其中A是二次型(f(x_1,x_2,\dots,x_n))的矩阵。
令(Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)’)，设C是数域K上的n级可逆矩阵，则关系式
[X=CY\tag{6} ]
称为变量(x_1,x_2,\dots,x_n)到变量(y_1,y_2,\cdots,y_n)的一个 非退化线性变换。
2、定义2：数域K上两个n元二次型(X’AX与Y’BY)，如果存在一个非退化线性变换(X=CY)，把(X’AX变成Y’BY)，那么称二次型(X’AX与Y’BY) 等价，记作：(X’AX\cong Y’BY)。
3、定义3：数域K上两个n级矩阵A与B，如果存在K上一个n级可逆矩阵C，使得
[C’AC=B,\tag{7} ]
那么称A与B 合同，记作：(A\backsimeq B)。
4、命题1：数域K上两个n元二次型(X’AX与Y’BY)等价当且仅当n级对称矩阵A与B合同。
5、合同关系下，A的等价类称为A的 合同类。
6、如果二次型(X’AX)等价于一个只含平方项的二次型，那么这个只含平方项的二次型称为(X’AX)的一个 标准形。
7、如果对称矩阵A合同于一个对角矩阵，那么这个对角矩阵称为A的一个 合同标准形。
8、命题2：实数域上n元二次型(X’AX)有一个标准形为
[\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2,\tag{8} ]
其中(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)是A的全部特征值。
9、如果T是正交矩阵，那么变量的替换(X=TX)称为 正交替换。
10、引理1：设A、B都是数域K上n级矩阵，则A合同于B当且仅当A经过一系类成对初等行、列变换可以变成B，此时对(I)只作其中的初等列变换得到的可逆矩阵C，就使得(C’AC=B)。
定理1：数域K上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵。
11、定理2：数域K上任一n元二次型都等价于一个只含平方项的二次型。
命题3：数域K上n元二次型(X’AX)的任一标准形中，系数不为0的平方项个数等于它的矩阵A的秩，这个秩也称为 二次型(X’AX) 的秩。
n元二次型(X’AX)经过一个适当的非退化线性替换(X=CY)可以化成下述形式的标准形：
[d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2,\tag{1} ]
其中(d_i>0,i=1,2,\cdots,r)。易知这个二次型的秩为r。再作一个非退化线性替换：
[\begin{aligned} y_i&=\frac 1 {\sqrt{d_i}}z_i,\qquad i=1,2,\cdots,r.\ y_j&=z_j,\qquad j=r+1,\cdots,n. \end{aligned}\tag{2} ]
则二次型（1）可变成
[z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2.\tag{3} ]
因此二次型(X’AX)有形如（2）式的一个标准形，称它为二次型(X’AX)的 规范形，它的特征是：只含平方项，且平方项的系数为1.-1或0；系数为1的平方项都在前面。实二次型(X’AX)的规范形（2）被两个自然数p和r决定。
若(X’AX)为复二次型，由于复数域负数可开根号，在经过形如（2）式的非线性退化过程可消去每项的正负性，从而得到下述形式标准形：
[z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2.\tag{4} ]
把这个标准形叫做复二次型(X’AX)的规范形。它的特征是：只含平方项，且平方项的系数为1或0.显然，复二次型(X’AX)的规范形完全由它的秩决定。
1、定理1（惯性定理）：n元实二次型(X’AX)的规范形是唯一的。
2、定义1：在实二次型(X’AX)的规范形中，系数为+1的平方项个数为p称为(X’AX)的 正惯性指数，系数为-1的平方项个数r-1称为(X’AX)的 负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数所得的差2p-r称为(X’AX)的 符号差。
命题1：两个n元实二次型等价
[\begin{aligned} \iff&它们的规范形相同\ \iff&它们的秩相等，并且正惯性指数也相等。 \end{aligned} ]
推论1：任一n级实对称矩阵A合同于对角矩阵(diag{1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0})，其中1的个数等于(X’AX)的正惯性指数，-1的个数等于(X’AX)的负惯性指数（分别把它们称为A的正惯性指数和负惯性指数），这个对角矩阵称为A的 合同规范形。
推论2：两个n级实对称矩阵合同等价于：它们的秩相等，并且正惯性指数也相等。秩和正惯性指数是合同关系下的一组完全不变量。
3、定理2：复二次型(X’AX)的规范形是唯一的。
命题2：两个n元复二次型等价
[\begin{aligned} \iff&它们的规范形相同\ \iff&它们的秩相等。 \end{aligned} ]
推论3：任一n级复对称矩阵A合同于对角阵：
[\begin{pmatrix}I_r&0\0&0 \end{pmatrix}, ]
其中r=rank(A)。
推论4：两个n级复对称矩阵合同等价于：它们的秩相等。
1、定义1：实二次型(X’AX)称为 正定的，如果对于(R^n)中任意非零列向量(\alpha)，都有(\alpha ‘A\alpha>0)。
2、定理1：n元实二次型(X’AX)是正定的当且仅当它的正惯性指数等于n。
推论1：n元实二次型(X’AX)是正定的
[\begin{aligned} \iff&它的规范形为：y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2\ \iff&它的标准形中n个系数全大于0 \end{aligned} ]
3、定义2：实对称矩阵A称为正定的，如果实二次型(X’AX)是正定的。即对于(R^n)中任意非零列向量(\alpha)，有(\alpha ‘A\alpha>0)。
4、定理2：n级实对称矩阵A是正定的
[\begin{aligned} \iff&A的正惯性指数等于n\ \iff&A\backsimeq I\ \iff&A的合同标准形中主对角元全大于0\ \iff&A的特征值全大于0 \end{aligned} ]
推论2：与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵。
推论3：与正定二次型等价的实二次型也是正定的，从而非退化线性替换不改变实二次型的正定性。
推论4：正定矩阵的行列式大于0.
5、定理3：实对称矩阵A是正定的充分必要条件是：A的所有顺序主子式全大于0。
推论5：实二次型(X’AX)是正定的充分必要条件是：A的所有顺序主子式全大于0。
6、定义3：n元实二次型(X’AX)称为是 半正定（负定，半负定）的，如果对于(R^n)中任意非零列向量(\alpha)，有
[\alpha ‘A\alpha\geqslant0(\alpha ‘A\alpha
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Author: hs3434
Title: 高等代数：6 二次型 矩阵的合同
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