例：已知(\overset{..}{x}=-c \overset{.}{x}^2+u)，设计u使(x(t)\rarr x_d(t)(t\rarr \infty))
设(\epsilon=x-x_d)，则(\overset{·}{\epsilon}=\overset{.}{x}-\overset{.}{x_d}),(\overset{··}{\epsilon}=\overset{..}{x}-\overset{..}{x_d})
设计切换函数(s=k\overset{.}{\epsilon}+\epsilon(k>0))
采用指数趋近律(\overset{.}{s}=-\lambda s)
切换函数左右两边对(t)求导，可以推导
[\begin{aligned} \overset{.}{s}&=k\overset{..}{\epsilon}+\overset{.}{\epsilon}\ &=k\overset{..}{x}-k\overset{..}{x_d}+\overset{.}{\epsilon}\ &=k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon}\ \end{aligned} ]
联立指数趋近律得到，
[u=c\overset{.}{x}^2+\overset{..}{x_d}-\dfrac{\overset{.}{\epsilon}}{k}-\dfrac{\lambda}{k}s ]
上面这个过程是一般的滑模控制的方法，但是应用在汽车跟随问题的时候需要考虑实际因素。在建模时， (c) 项与质量相关，而汽车装载质量会变化，所以用上面的控制方法存在一定的问题。下面提出了自适应控制的方法。
把(c)看成参考值，是未知量，设(\hat{c})是估计值，此时的指数趋近律是
[u=\hat{c}\overset{.}{x}^2+\overset{..}{x_d}-\dfrac{\overset{.}{\epsilon}}{k}-\dfrac{\lambda}{k}s\tag{1} ]
接下来我们重点分析(\hat{c})的估计方法
可以看出估计误差(\widetilde{c}=\hat{c}-c)，假如(c)很小，则左右两边对(t)求导，近似可以得到(\overset{.}{\widetilde{c}}=\overset{.}{\hat{c}})。
根据李雅普诺夫方法，设
[V=\dfrac{s^2}{2}+\dfrac{\widetilde{c}^2}{2\gamma} ]
其中(\gamma>0)为调节参数。我们可以看出(V>0)，只要证明(V’
[\begin{aligned} V’&=ss’+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\widetilde{c}}\ &=s(k\overset{..}{\epsilon}+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\ &=s(k(\overset{..}{x}-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\ &=s(k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}} \end{aligned} ]
把自适应控制率(1)代入
[\begin{aligned} V’&=s(k(-c\overset{.}{x}^2+u-\overset{..}{x_d})+\overset{.}{\epsilon})+\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}\ &=-\lambda s^2 + \dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks(\hat{c}-c)\overset{.}{x}^2\ &=-\lambda s^2 + \dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks\widetilde{c}\overset{.}{x}^2 \end{aligned} ]
令(\dfrac{1}{\gamma}\widetilde{c}\overset{.}{\hat{c}}+ks\widetilde{c}\overset{.}{x}^2=0)，即
[\overset{.}{\hat{c}}=-\gamma k \overset{.}{x}^2s\tag{2} ]
此时满足(V’=-\lambda s^2
综上分析，控制律(1)(2)即可以实现汽车质量变动下的自适应控制。
Original: https://www.cnblogs.com/hitwherznchjy/p/16332622.html
Author: 静候佳茵
Title: 自适应控制
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