二次规划的
标准形式
\mathop {min} \limits_{x}f\left( x \right) =\mathop {min} \limits_{x}\frac{1}{2}x^THx+c^Tx
s.t.\begin{cases}
Ax=b\
x\ge 0\
\end{cases}
无约束形式：
可以直接求得解析解为$x=-H^{-1}c$。
不等式约束形式(x>0)：
$$
\mathop {min} \limits_{x}f\left( x \right) =\mathop {min} \limits_{x}\frac{1}{2}x^THx+c^Tx
\
s.t.\begin{cases}
Ax\le b\
x\ge 0\
\end{cases}
$$
转化为标准形式的方法：
加入松弛变量：$Ax+Is=b,\,\,x,s \ge 0$
$$
\left[ \begin{matrix}
A& I\
\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}
x\
s\
\end{array} \right] =b,\,\,\left[ \begin{array}{c}
x\
s\
\end{array} \right] \ge 0
不等式约束形式($x \in R^n$)
$$\mathop {min} \limits_{x}f\left( x \right) =\mathop {min} \limits_{x}\frac{1}{2}x^THx+c^Tx
\
s.t.\begin{cases}
Ax\le b\
x\in \mathbb{R}^n\
\end{cases}$$
转化为标准形式的方法：
定义$Define\,\,x=x^+-x^-\,\,with\,\,x^+,x^-\ge 0$，可得$Ax^+ – x^- +ls = b$其中$x^+, x^-, s \geq 0$，
转化为$$
\left[ \begin{matrix}
A& -A& I\
\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}
x^+\
x^-\
s\
\end{array} \right] =b,\,\,\left[ \begin{array}{c}
x^+\
x^-\
s\
\end{array} \right] \ge 0
$$
将二次规划看作有约束最优化问题
形式为：
$$f\left( x \right) =\frac{1}{2}x^THx+c^Tx
\
s.t.\,\,\begin{cases}
Ax-b=0\
-x\le 0\
\end{cases}$$
其Kuhn-Tucker条件为：
$$\begin{cases}
Ax=b\text{（原始可行性）}\
x\ge 0\text{（原始可行性）}\
Hx+A^T\lambda -\mu =-c\text{（平稳性）}\
\mu ^Tx=0\text{（互补松弛性）}\
\mu \ge 0\text{（对偶可行性）}\
\end{cases}$$
Original: https://www.cnblogs.com/zhaoke271828/p/16748506.html
Author: Viktor_Cullen
Title: 最优化-二次规划
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