谨以此文纪念杨振宁、李政道先生获得诺贝尔物理学奖60周年.
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的”分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为”无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.
戴德金分割
已知对于戴德金分割，把实数域拆分成两个均非空集A及A’，使能满足：
情形1：每一实数必落在集A，A’中一个且仅一个之内
情形2：集A的每一数α小于集A’的每一数α’
戴德金定理
它是刻画实数连续性的命题之一，也称实数完备性定理，它断言，若A|A’是实数系R(即有理数集的所有戴德金分割的集合，并以明显的方式定义了大小顺序及四则运算)的戴德金分割，则由它可确定惟一实数β，若β落在A内，则它为A中最大元，若β落在A’内，则它是A’中最小元，这个定理说明，R的分割与全体实数是一一对应的，反映在数轴上，它又说明R的分割不再出现空隙，因此，这个定理可用来刻画实数的连续性.
下面我们在戴德金分割的基础上给出戴德金(基本)定理的证明过程：
将属于A的一切有理数集记成A，属于A’的一切有理数集记成A’，容易证明，集A及集A’形成有理数域内的一个分划，这分划A|A’确定出某一实数β，它应该落在A组或A’组之一内，假定β落在下组A内，则这样就实现了情形1，β就是A组的最大数，假定如果不是这样，便可在这组内找出大于β的另一数α0，现在α0与β之间插入有理数r，使α0>r>β，r亦属于A，故必属于A的一部分，这样就得出了谬论，即有理数r属于确定β的戴德金分割的下组，却又大于β，因此，就证明了戴德金定理的正确性，类似地，如果假定β落在上组A’内，同样可以证明.
戴德金分割存在的几点疑问：
1.根据戴德金分割(我们可以)证明：1=0.999……
证明：设 t=0.999……，作两个有理数集的分割
A={x|x
Original: https://www.cnblogs.com/milantgh/p/8017712.html
Author: milantgh
Title: 关于戴德金分割的几点思考
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