由參数l,r,b,t,n,f定义的透视投影矩阵的推导困惑了我差点儿相同一个多礼拜。这几天差点儿是天天都在思考这个问题。昨天晚上3点多钟我突然醒了，然后我又開始想这个问题，结果最终让我给想通了，于是我赶紧起床把这个思路记在了草稿纸上，还专门照了张照片作证。
为了解决问题，前几天我专门发了两篇帖子求答案，结果知网上的居然沉掉了。而在csdn上也没有得到答案（质疑有关透视投影矩阵的推导）。
幸亏我自己还是攻克了这个问题。
以下推导的是OpenGL中的透视投影矩阵。
已经知道由參数fovy,aspect,n,f定义的透视投影矩阵为：(有关这块的推导可见《3d graphics for game programming》 2.4.3 derivation of projection matrix，讲得很具体)
P O p e n G L =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜c o t (f o v y 2 )a s p e c t 0 0 0 0 c o t (f o v y 2 )0 0 0 0 −f +n f −n −1 0 0 −2 n f f −n 0 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
那么再看还有一种投影參数l,r,b,t,n,f，上面矩阵中：
c o t (f o v y 2 )a s p e c t =c o t (f o v x 2 )=2 n r −l ,
c o t (f o v y 2 )=2 n t −b .
由于參数l,r是相应视见空间中x轴的坐标，b,t相应视见空间中y轴的坐标， 假设l=-r而且b=-t。那么由这样的參数定义的透视投影矩阵就是：
P ′O p e n G L =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜2 n r −l 0 0 0 0 2 n t −b 0 0 0 0 −f +n f −n −1 0 0 −2 n f f −n 0 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟
而官方的透视投影矩阵是：
P O p e n G L =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜2 n r −l 0 0 0 0 2 n t −b 0 0 r +l r −l t +b t −b −f +n f −n −1 0 0 −2 n f f −n 0 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟
实际上这个矩阵是由两步转换完毕的， 第一步是进行矩阵P ′O p e n G L 变换，然后进行了*移操作。例如以下：
P O p e n G L =T ×P ′O p e n G L =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −r +l r −l −t +b t −b 0 1 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟×⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜2 n r −l 0 0 0 0 2 n t −b 0 0 0 0 −f +n f −n −1 0 0 −2 n f f −n 0 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜2 n r −l 0 0 0 0 2 n t −b 0 0 r +l r −l t +b t −b −f +n f −n −1 0 0 −2 n f f −n 0 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
*那些说这个透视投影没有做移这一步操作，我能够100%跟你说你是错的！
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以下我来解释为什么进行了移操作。
来张示意图：
这个是视见空间中的示意图。由于存在l≠-r或b≠-t的情况。所以这里我有益没把裁剪*面中心画在z轴上。
示意图上由红线绘制的立方体才是由l,r,b,t,n,f參数定义的视锥体，当中远裁剪面上的四个点分别相应原点eye经过裁剪面上四个点的延长线与z=-f面的交点，注意这个视锥体是不规则的！
然后图中的标注l’, r’是裁剪面点(l,b,-n)和点(r,b,-n)x轴上的分量在z =−c o t (f o v x 2 )上的投影，l ′=2 l r −l。r ′=2 r r −l。l’和r’的中心值是r +l r −l。同理裁剪面上点(r,b,-n)和点(r,t,-n)y轴上的分量在z =−c o t (f o v y 2 )上的投影。b ′=2 b t −b，t ′=2 t t −b，b’和t’的中心值是t +b t −b。 图中的视锥体通过P ′O p e n G L 透视变换之后得到的是规则的正方体（左下角顶点(2 l r −l ,2 b t −b ,1 ) ，右上角顶点(2 r r −l ,2 t t −b ,−1 )） 。最终要把它转换成cvv（canonical view volume，正规可视化空间）。则须要进行T移转换，也就是移(−r +l r −l ,−t +b t −b ,0 )。得证。
Original: https://www.cnblogs.com/gccbuaa/p/7402623.html
Author: gccbuaa
Title: 透视矩阵的推导（最直观、最深入、最还原，看完请点赞。）
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