如何应用Graph在降维中？
1. 介绍
降维是机器学习中一个重要的任务，它通过减少数据集中的特征数量来帮助我们更好地理解和可视化数据。图(Graph)是一种能够有效表示和处理数据关系的数据结构，在降维中应用图能够提供更优质的数据表达。
本文将介绍如何应用图在降维中，具体来说是使用图嵌入（Graph Embedding）的方法来降维。我们将通过算法原理、公式推导、计算步骤以及Python代码示例来详细解决这个问题。
2. 算法原理
图嵌入是一种将图中的节点映射到低维向量表示的方法。其中，常用的图嵌入技术之一是基于随机游走的方法，如DeepWalk算法。
DeepWalk算法采用了Word2Vec模型的思想，将随机游走看作是图中的“句子”，节点看作是“单词”，通过优化节点向量的连续性来学习节点的低维表示。
3. 公式推导
在DeepWalk算法中，通过使用Skip-gram模型来学习节点的向量表示。Skip-gram模型的目标是最大化节点组成序列的联合概率，即给定一个节点序列的情况下，最大化预测该序列中其他节点的概率。
设节点序列为$V_1, V_2, …, V_T$，则Skip-gram模型的目标函数可以表示为：
$$
\max \prod_{t=1}^{T} \prod_{-c \leq j \leq c, j \neq 0} P(V_{t+j}|V_t)
$$
其中，$c$是上下文窗口大小。
假设节点的向量表示为$X \in \mathbb{R}^{N \times d}$，其中$N$是节点个数，$d$是向量维度。为了计算节点间的余弦相似度，我们可以使用以下公式：
$$
S = \frac{X X^T}{\|X\|\|X^T\|}
$$
其中，$S \in \mathbb{R}^{N \times N}$是相似度矩阵。
为了最大化节点向量的连续性，我们可以使用以下公式作为目标函数的一部分：
$$
J = -\frac{1}{N} \sum_{u=1}^{N} \sum_{v=1}^{N} A_{uv} \log \frac{\exp(s_{uv})}{\sum_{k=1}^{N} \exp(s_{uk})}
$$
其中，$A_{uv}$是指示矩阵，表示节点$u$和节点$v$之间是否有边相连。
4. 计算步骤
图降维的计算步骤如下：
-
构建一个无向图，其中节点代表原始数据的样本点，边代表样本点之间的关系。
-
基于随机游走，生成大量的节点序列。
-
通过Skip-gram模型学习节点的低维向量表示。
-
计算节点间的相似度矩阵。
-
对节点向量进行降维，可以使用诸如PCA等方法。
5. Python代码示例
以下是使用Python实现的DeepWalk算法示例代码：
import numpy as np
import random
# 构建图
graph = {
"A": ["B", "C"],
"B": ["A", "C"],
"C": ["A", "B"]
}
# 参数设置
embedding_size = 2 # 低维向量维度
walk_length = 10 # 随机游走长度
num_walks = 100 # 随机游走次数
learning_rate = 0.01 # 学习率
# 随机游走函数
def random_walks(graph, walk_length, num_walks):
walks = []
nodes = list(graph.keys())
for _ in range(num_walks):
random.shuffle(nodes)
for node in nodes:
walk = [node]
while len(walk) < walk_length:
neighbors = graph[walk[-1]]
if len(neighbors) > 0:
walk.append(random.choice(neighbors))
walks.append(walk)
return walks
# 随机游走
walks = random_walks(graph, walk_length, num_walks)
# 初始化节点向量
def initialize_embedding(graph):
embedding = {}
for node in graph.keys():
embedding[node] = np.random.rand(embedding_size)
return embedding
embedding = initialize_embedding(graph)
# Skip-gram模型
for walk in walks:
for i in range(len(walk)):
center_node = walk[i]
context_nodes = walk[max(0, i - context_window) : i] + walk[i+1 : min(i + context_window, len(walk))]
for context_node in context_nodes:
center_vector = embedding[center_node]
context_vector = embedding[context_node]
similarity = np.dot(center_vector, context_vector) / (np.linalg.norm(center_vector) * np.linalg.norm(context_vector))
loss = -np.log(np.exp(similarity) / np.sum(np.exp(list(embedding.values()))))
gradient = learning_rate * (1 - similarity) * context_vector
embedding[center_node] += gradient
# 降维
def reduce_dimension(embedding):
vectors = np.array(list(embedding.values()))
# 使用PCA等方法进行降维
# ...
return reduced_vectors
reduced_vectors = reduce_dimension(embedding)
6. 代码细节解释
以上代码中，首先根据输入的图结构构建了一个无向图。然后通过随机游走函数生成了大量的节点序列。接着，初始化了节点的低维向量表示。随后，使用Skip-gram模型进行节点向量的学习，并通过优化目标函数来最大化节点向量的连续性。最后，可以使用PCA等方法对节点向量进行降维。
在代码中，可以根据需求调整参数，如低维向量维度、随机游走长度、随机游走次数和学习率等。同时，根据具体的降维需求，可以使用不同的降维方法。
总结
本文介绍了如何应用图在降维中，特别是使用图嵌入的方法。通过算法原理、公式推导、计算步骤和Python代码示例，详细解决了这个问题。使用Graph在降维中可以更好地表达数据关系，提高降维的效果。尽管本文使用了DeepWalk算法作为示例，但还有其他图嵌入的方法可供选择，根据具体场景选择适合的方法可以取得更好的效果。
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