问题：SVM是指什么？
SVM，全称为支持向量机（Support Vector Machine），是一种常用的机器学习算法，主要用于二分类和多分类问题。它在解决线性和非线性问题上表现出色，并且在处理高维数据时具有很好的鲁棒性。SVM算法的核心思想是寻找一个最佳的超平面，将不同类别的样本分开并使间隔最大化。
SVM算法原理
SVM算法的本质是在特征空间中找到一个最优的超平面，将不同类别的样本划分开来。对于二分类问题而言，我们需要找到一个二维平面，即一个直线，将两个类别的样本分隔开。对于多分类问题，可以将问题转化为多个二分类问题，通过多个二分类器组合来实现多分类。
在SVM中，样本以点的形式表示在特征空间中。每个样本点都有一个对应的标签，标记其所属的类别。SVM的目标是找到最佳的超平面，使得不同类别样本点到超平面的距离最大化。
SVM公式推导
为了开始推导SVM算法的数学公式，我们首先介绍一些基本的符号：
- 样本点：$(x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n)$，其中$x_i$是样本特征，$y_i$是样本标签，$y_i$只能取1或-1。
- 超平面：$wx + b = 0$，其中$w$是法向量，决定超平面的方向，$b$是截距。
SVM算法的目标是找到最佳的超平面，使得不同类别样本点到超平面的距离最大化。具体而言，我们希望找到能够最小化以下目标函数的参数$w$和$b$：
$$
\arg\min_{w,b}\frac{1}{2}||w||^2
$$
然而，直接求解上述问题是困难的。为了避免这个问题，我们可以转化为一个约束优化问题。具体而言，我们希望满足以下约束条件：
$$
\begin{cases}
y_i(wx_i + b) \geq 1, \forall i = 1, 2, …, n \
\end{cases}
$$
上述约束条件意味着所有的样本都处于正确的分类一侧，并且距离超平面的距离不小于1。这是因为SVM算法为了保证泛化性能，对于Misclassification Rate的允许限制非常严格。
SVM计算步骤简述
- 收集样本数据，并为每个样本分配标签。
- 根据所选的Kernel函数，计算两两样本之间的相似度得分。
- 基于目标函数和约束条件，求解最优化问题，得到超平面的参数$w$和$b$。
- 根据得到的超平面，进行新样本的预测。
SVM的Python代码示例
下面是一个SVM算法的Python代码示例，用于解决一个二分类问题。我们将使用一个开源数据集，为了说明算法的实际应用：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 创建一个虚拟的二分类数据集
X = np.array([[1, 3], [2, 2], [3, 8], [4, 6], [5, 1], [6, 4], [7, 7], [8, 3], [9, 5], [10, 2]])
y = np.array([-1, -1, 1, 1, -1, 1, 1, -1, 1, -1])
# 绘制数据集的散点图
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y)
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()
from sklearn.svm import SVC
# 创建SVM分类器对象
clf = SVC(kernel='linear')
# 拟合模型
clf.fit(X, y)
# 绘制决策边界
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y)
ax = plt.gca()
xlim = ax.get_xlim()
ylim = ax.get_ylim()
# 创建网格来评估模型
xx = np.linspace(xlim[0], xlim[1], 30)
yy = np.linspace(ylim[0], ylim[1], 30)
YY, XX = np.meshgrid(yy, xx)
xy = np.vstack([XX.ravel(), YY.ravel()]).T
Z = clf.decision_function(xy).reshape(XX.shape)
# 绘制决策边界和间隔
ax.contour(XX, YY, Z, levels=[-1, 0, 1], alpha=0.5, linestyles=['--', '-', '--'], colors='k')
ax.scatter(clf.support_vectors_[:, 0], clf.support_vectors_[:, 1], s=100, linewidth=1, facecolors='none', edgecolors='k')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.show()
代码解释：
- 代码的第1和2行导入了numpy和matplotlib库。
- 第4到12行创建了一个虚拟的二分类数据集，并绘制了散点图来可视化数据。
- 第14行导入了SVC类，用于创建一个SVM分类器对象，通过指定
kernel='linear'来选择线性核函数。 - 第17行调用分类器对象的
fit方法来拟合模型。 - 第20到31行绘制了决策边界和间隔：
- 首先，绘制原始数据的散点图。
- 然后，通过创建网格来评估模型，使用
clf.decision_function计算每个网格点到超平面的距离。 - 最后，使用
ax.contour绘制决策边界和间隔，并使用ax.scatter绘制支持向量。
解释代码细节
- 在代码的第14行，我们使用
SVC(kernel='linear')创建了一个SVM分类器对象，并指定了线性核函数。 - 在代码的第17行，我们使用
clf.fit(X, y)拟合了模型，其中X是特征数据，y是标签数据。 - 在代码的第20到31行，我们绘制了决策边界和间隔的过程：
- 首先，通过
ax.get_xlim()和ax.get_ylim()获取绘图的坐标范围。 - 然后，使用
np.linspace创建一维网格，再使用np.meshgrid将一维网格扩展为二维网格。 - 接下来，对每个网格点计算到超平面的距离，得到Z。
- 最后，使用
ax.contour绘制决策边界和间隔，使用ax.scatter绘制支持向量。
原创文章受到原创版权保护。转载请注明出处：https://www.johngo689.com/822583/
转载文章受原作者版权保护。转载请注明原作者出处！