问题描述
局部加权回归（Locally Weighted Regression, LWR）是一种非参数回归算法，用于解决回归问题。该算法通过给予不同样本以不同的权重，来对回归模型进行局部逼近，从而更好地拟合数据。本文将详细介绍局部加权回归的原理、算法推导、计算步骤和提供一个复杂的Python代码示例。
算法原理
局部加权回归将样本的权重与样本之间的距离关联起来，使得距离较近的样本对模型的拟合贡献更大。算法基于以下原理进行拟合：
- 对于给定的测试样本$x$，利用核函数来给予附近样本点以不同的权重。常用的核函数有高斯核函数（Gaussian Kernel）和三角核函数（Triangular Kernel）等。
- 在$x$附近的样本上运用最小二乘法进行线性回归，得到局部估计系数。
公式推导
我们用$X$表示输入的特征变量矩阵，$Y$表示对应的目标变量，对于给定的测试样本$x$，我们希望建立具有以下形式的模型：
$$h_{\theta}(x) = \theta_0 + \theta_1 \cdot x$$
为了给附近的样本点赋予更高的权重，我们引入核函数$K$来计算样本权重。核函数的定义如下：
$$K\left(\frac{||x^{(i)} – x||}{\tau}\right) = \exp\left(-\frac{||x^{(i)} – x||^2}{2\tau^2}\right)$$
其中，$x^{(i)}$表示训练集中的样本点，$\tau$是控制样本权重的参数。
我们的目标是通过最小化加权误差函数来估计模型参数$\theta$。误差函数的定义如下：
$$J(\theta) = \sum_{i=1}^{m} w^{(i)}(Y^{(i)} – h_{\theta}(x^{(i)}))^2$$
其中，$m$是训练集样本数量，$w^{(i)} = K\left(\frac{||x^{(i)} – x||}{\tau}\right)$为样本$x^{(i)}$的权重。
根据最小二乘法的思想，我们通过求解最小化误差函数的参数$\theta$来获得模型的最佳拟合。最小化误差函数的步骤如下：
- 根据核函数计算样本的权重$w^{(i)}$。
- 构造对角矩阵$W$，将权重$w^{(i)}$赋值在对角线上。
- 利用最小二乘法求解得到$\theta = (X^T W X)^{-1}X^T W Y$。
- 根据$\theta$估计模型$h_{\theta}(x)$的值。
计算步骤
局部加权回归的计算步骤如下：
- 定义核函数$K$和参数$\tau$。
- 给定测试样本$x$，计算样本的权重$w^{(i)}$。
- 构建对角权重矩阵$W$。
- 通过最小二乘法求解得到参数$\theta$。
- 利用得到的$\theta$计算模型预测值$h_{\theta}(x)$。
Python代码示例
下面是一个使用局部加权回归算法对虚拟数据集进行拟合的Python代码示例：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def gaussian_kernel(x, xi, tau):
return np.exp(-(x-xi)**2 / (2*tau**2))
def locally_weighted_regression(X, Y, x, tau):
m = X.shape[0]
W = np.zeros((m, m))
theta = np.zeros((2, 1))
for i in range(m):
W[i, i] = gaussian_kernel(x, X[i], tau)
x_matrix = np.column_stack([np.ones((m, 1)), X])
theta = np.linalg.inv(x_matrix.T @ W @ x_matrix) @ x_matrix.T @ W @ Y
return theta[0][0] + theta[1][0] artical cgpt2md_gpt.sh cgpt2md_johngo.log cgpt2md_johngo.sh cgpt2md.sh _content1.txt _content.txt current_url.txt history_url history_urls log nohup.out online pic.txt seo test.py topic_gpt.txt topic_johngo.txt topic.txt upload-markdown-to-wordpress.py urls x
# 生成虚拟数据集
np.random.seed(0)
X = np.linspace(0, 10, 100)
Y = np.sin(X) + np.random.normal(scale=0.1, size=X.shape)
# 预测新样本
x_test = 5
y_pred = locally_weighted_regression(X, Y, x_test, tau=1)
# 绘制拟合结果
plt.scatter(X, Y, label='data')
plt.plot(X, np.sin(X), color='red', linestyle='--', label='sin(x)')
plt.plot(x_test, y_pred, marker='o', color='green', label='prediction')
plt.legend()
plt.show()
在上述代码中，我们首先定义了高斯核函数gaussian_kernel，然后实现了locally_weighted_regression函数来进行局部加权回归的计算。最后，我们使用虚拟数据集生成了散点图，并利用局部加权回归进行拟合，并绘制了拟合结果。
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