本篇是学习了《趣学算法（第2版）》 第一章之后总结的。
上一篇讲到了等比数列求和问题，求(S_n = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{63}= ？)，该函数属于 爆炸增量函数，如果采用常规运算，则要考虑算法的时间复杂度。
算法知识点
- 斐波那契数
- 动态规划（拆分子问题；记住过往，减少重复计算）
算法题目
假设第1个月有1对初生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生
1对兔子，兔子永不死去…..那么，由1对初生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？
做题思路
这个数列有如下十分明显的特点：从第3个月开始，(当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数)，而(当月新生兔子数=上上月的兔子数)。因此，前面相邻两项之和便构成后一项，换言之：
[当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数 ]
斐波那契数如下：
1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8， 13 ，21 ，34 ......
递归表达式
[F(n)= \begin{cases} 1&， \text{n=1}\ 1&， \text{n=2}\ F(n-1) + F(n-2)&， \text{n>2} \end{cases}]
根据递归表达式，初步的算法代码如下：
const fbn = (n) => {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1
} else {
return fbn(n-2) + fbn(n-1)
}
}
让我们看一下上面算法的时间复杂度，也就是计算的总次数(T(n))
时间复杂度
时间复杂度算的是最坏情况下的时间复杂度
n=1时，T(n)=1
n=2时，T(n)=1；
n=3时，T(n)=3; //调用Fib1(2)和Fib1(1)并执行一次加法运算(Fib1(2)+Fib1(1))
当n>2时需要分别调用 fbn(n-1)和 fbn(n-2)，并执行一次加法运算，换言之：
[n\gt2时，T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1; ]
所以，(T(n) >= F(n))
问题来了，怎么判断
T(n)属于算法时间复杂度的哪种类型呢？
方法一：
画出递归树，每个节点表示计算一次
一棵 满二叉树， 节点总数就和树的高度呈指数关系
递归树 F(n)里面存在满二叉树，所以 时间复杂度是指数阶的。
方法二：
使用公式进行递推
因为时间复杂度算的是最坏情况下的时间复杂度，所以计算第一个括号内的即可
即：(T(n) = O(2^n))，时间复杂度是 指数阶的
算法改进
降低时间复杂度
不难发现：上面基于递归表达式的算法，存在大量的重复计算，增大了算法的时间复杂度，所以我们可以做出如下改进，以减少时间复杂度
// 利用数组记录过往的值，直接使用，避免重复计算
const fbn2 = (n) => {
let arr = new Array(n + 1); // 定义 n + 1 长度的数组
arr[1] = 1;
arr[2] = 1;
for (let i = 3; i
很显然上面算法的时间复杂度是(O(n))，时间复杂度从指数阶降到了多项式阶。
由于上面算法使用数组记录了所有项的值，所以，算法的空间复杂度变成了(O(n))，我们可以继续改进算法，来降低算法的空间复杂度
降低空间复杂度
采用临时变量，来迭代记录上一步计算出来的值，代码如下：
const fbn3 = (n) => {
if (n === 1 || n === 2) {
return 1;
}
let pre1 = 1 // pre1，pre2记录前面两项
let pre2 = 1
let tmp = ''
for (let i = 3; i
使用了三个辅助变量，时间复杂度还是(O(n))，空间复杂度降为(O(1))
测试算法计算时间
// 斐波那契数列
// 1 ，1 ，2 ，3 ，5 ，8， 13 ，21 ，34 ......
const fbn = (n) => {
if (n == 1 || n == 2) {
return 1
} else {
return fbn(n-2) + fbn(n-1)
}
}
console.time('fbn')
console.log('fbn(40)=', fbn(40))
console.timeEnd('fbn')
// 利用数组记录过往的值，直接使用，避免重复计算
const fbn2 = (n) => {
let arr = new Array(n + 1); // 定义 n + 1 长度的数组
arr[1] = 1;
arr[2] = 1;
for (let i = 3; i {
if (n === 1 || n === 2) {
return 1;
}
let pre1 = 1 // pre1，pre2记录前面两项
let pre2 = 1
let tmp = ''
for (let i = 3; i
测试结果如下：
fbn(40)= 102334155
fbn: 667.76ms
fbn2(40)= 102334155
fbn2: 0.105ms
fbn3(40)= 102334155
fbn3: 0.072ms
小结
能不能继续降阶，使算法的时间复杂度更低呢？
实质上，斐波那契数列的时间复杂度还可以降到对数阶(O(logn))，好厉害!!!后面继续探索吧
算法作为一门学问，有两条几乎平行的线索：
- 数据结构（数据对象）：数、矩阵、集合、串、排列、图、表达式、分布等。
- 算法策略：贪心策略、分治策略、动态规划策略、线性规划策略、搜索策略等。
这两条线索是相互独立的：
- 对于同一个数据对象上不同的问题（如单源最短路径和多源最短路径)，就会用到不同的算法策略（如贪心策略和动态规划策略）；
- 对于完全不同的数据对象上的问题(如排序和整数乘法)，也许就会用到相同的算法策略（如分治策略）。
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Title: 算法 | 详解斐波那契数列问题
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