大角度非迭代的空间坐标旋转C#实现

前面文章中提到 空间直角坐标系相互转换,测绘坐标转换时,一般涉及到的情况是:两个直角坐标系的小角度转换。这个就是我们经常在测绘数据处理中,WGS-84坐标系、54北京坐标系、80西安坐标系、国家2000坐标系之间的转换。

所谓小角度转换,指直角坐标系(XOY)和直角坐标系(X’O’Y’)之间,对应轴的旋转角度很小, 满足泰勒级数展开后的线性模型

大角度非迭代的空间坐标旋转C#实现

常见的三维坐标转换模型有[1]

  • 布尔沙模型
  • 莫洛琴斯基模型
  • 范式模型

但,当两个坐标系对应轴的旋转角度增加到一定程度时,则无法使用低阶的泰勒级数展开,且迭代的计算量、精度、速度无法取得平衡[2]。存在以下缺点:

  1. 仅适用于满足近似处理的小角度转换
  2. 设计复杂的三角函数运算
  3. 需要迭代计算

罗德里格矩阵是摄影测量中的常见方法,在该方法中,不需要进行三角函数的计算和迭代运算。计算过程简单明了,易于编程实现。不仅适用于小角度的坐标转换,也适用于大角度的空间坐标转换。

本文将介绍罗德里格矩阵的基本原理和C#实现,并用实例证明解算的有效性。

  1. 罗德里格矩阵坐标转换原理

2.1 坐标转换基本矩阵

两个空间直角坐标系分别为(XOY)和(X’O’Y’),坐标系原点不一致,存在三个平移参数(\Delta X)、(\Delta Y)、(\Delta Z)。它们间的坐标轴也相互不平行,存在三个旋转参数(\epsilon x)、(\epsilon y)、(\epsilon z)。同一点A在两个坐标系中的坐标分别为((X,Y,Z))和((X’,Y’,Z’))。

显然,这两个坐标系通过坐标轴的平移和旋转变换可取得,坐标间的转换关系如下:

[\left[\begin{array}{l} X \ Y \ Z \end{array}\right]=\lambda R\left[\begin{array}{l} X^{\prime} \ Y^{\prime} \ Z^{\prime} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} \Delta X \ \Delta Y \ \Delta Z \end{array}\right] \tag{1} ]

其中,(\lambda)是比例因子,(R\left(\varepsilon_Y\right) R\left(\varepsilon_X\right) R\left(\varepsilon_Z\right))分别是绕Y轴,X轴,Z轴的旋转矩阵。 注意,旋转的顺序不同,(R) 的表达形式不同

[\begin{aligned} R & =R\left(\varepsilon_Y\right) R\left(\varepsilon_X\right) R\left(\varepsilon_Z\right) \ & =\left[\begin{array}{ccc} \cos \varepsilon_Y \cos \varepsilon_Z-\sin \varepsilon_Y \sin \varepsilon_X \sin \varepsilon_Z & -\cos \varepsilon_Y \sin \varepsilon_Z-\sin \varepsilon_Y \sin \varepsilon_X \cos \varepsilon_Z & -\sin \varepsilon_Y \cos \varepsilon_X \ \cos \varepsilon_X \sin \varepsilon_Z & \cos \varepsilon_X \cos \varepsilon_Z & -\sin \varepsilon_X \ \sin \varepsilon_Y \cos \varepsilon_Z+\cos \varepsilon_Y \sin \varepsilon_X \sin \varepsilon_Z & -\sin \varepsilon_Y \sin \varepsilon_Z+\cos \varepsilon_Y \sin \varepsilon_X \cos \varepsilon_Z & \cos \varepsilon_Y \cos \varepsilon_X \end{array}\right] \end{aligned} ]

习惯上称(R)为旋转矩阵,([\Delta X,\Delta Y,\Delta Z]^T)为平移矩阵。只要求出(\Delta X)、(\Delta Y) 、(\Delta Z),(\varepsilon_X)、(\varepsilon_Y)、(\varepsilon_Z),这7个转换参数,或者直接求出旋转矩阵和平移矩阵,就可以实现两个坐标系间的转换。

2.2 计算技巧-重心矩阵

为计算方便,对所用到的坐标进行重心化处理。将两个坐标系的公共点的坐标均化算为以重心为原点的重心化坐标。分别记为((\bar{X}, \bar{Y}, \bar{Z})) 和 (\left(\bar{X}^{\prime}, \bar{Y}^{\prime}, \bar{Z}^{\prime}\right)) 。两个坐标系的重心的坐标分别为 ((X_g, Y_g, Z_g)) 和 ((X’_g, Y’_g, Z’_g)) 。

[\left{\begin{array}{l} X_k=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}, Y_k=\frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{n}, Z_k=\frac{\sum_{i=1}^n Z_i}{n} \ X_k^{\prime}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i^{\prime}}{n}, Y_k^{\prime}=\frac{\sum_{i=1}^n Y_i^{\prime}}{n}, Z_k^{\prime}=\frac{\sum_{i=1}^n Z_i^{\prime}}{n} \ \bar{X}_i=X_i-X_k, \bar{Y}_i=Y_i-Y_k, \bar{Z}_i=Z_i-Z_k \ \bar{X}_i^{\prime}=X_i^{\prime}-X_k^{\prime}, \bar{Y}_i^{\prime}=Y_i^{\prime}-Y_k^{\prime}, \bar{Z}_i^{\prime}=Z_i^{\prime}-Z_k^{\prime} \end{array}\right. ]

因此,可以将式(1)变为:

[\left[\begin{array}{l} \bar{X} \ \bar{Y} \ \bar{Z} \end{array}\right]=\lambda R\left[\begin{array}{l} \bar{X}^{\prime} \ \bar{Y}^{\prime} \ \bar{Z}^{\prime} \end{array}\right] \tag{2} ]

[\left[\begin{array}{l} \Delta X \ \Delta Y \ \Delta Z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} X_g \ Y_g \ Z_g \end{array}\right]-\lambda R\left[\begin{array}{l} X_g^{\prime} \ Y_g^{\prime} \ Z_g^{\prime} \end{array}\right] \tag{3} ]

因而,转换参数可分两步来求解。先用式(2)求出旋转参数和比例因子,再用式(,3)求出平移参数。

2.3 基于罗德里格斯矩阵的转换方法

对式(2)两边取2-范数,由于(\lambda > 0),旋转矩阵为正交阵的特性,可得:

[\Vert [\bar{X}, \bar{Y}, \bar{Z}]^T \Vert = \lambda \Vert [\bar{X’}, \bar{Y’}, \bar{Z’}]^T \Vert \tag{4} ]

对于n个公共点,可得(\lambda)的最小均方估计:

[\lambda=\frac{\sum_{i=1}^n\left(\left\|\left[\bar{X}i \bar{Y}_i \bar{Z}_i\right]^{\mathrm{T}}\right\| \cdot\left\|\left[\bar{X}_i^{\prime} \bar{Y}_i^{\prime} \bar{Z}_i^{\prime}\right]^{\mathrm{T}}\right\|\right)}{\sum_i^n\left(\left\|\left[\bar{X}{\prime}^{\prime} \bar{Y}_i^{\prime} \bar{Z}_i^{\prime}\right]^{\mathrm{T}}\right\|\right)^2} ]

得到比例因子的最小均方估计后,可将旋转矩阵 (R) 表示为:

[R=(I-S)^{-1} (I+S) \tag{5} ]

其中,(I)为单位矩阵,(S)为反对称矩阵。将式(5)带入式(3),可得:

[\left[\begin{array}{c} \bar{X}-\lambda \bar{X}^{\prime} \ \bar{Y}-\lambda \bar{Y}^{\prime} \ \bar{Z}-\lambda \bar{Z}^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -\left(\bar{Z}+\lambda \bar{Z}^{\prime}\right) & -\left(\bar{Y}+\lambda \bar{Y}^{\prime}\right) \ -\left(\bar{Z}+\lambda \bar{Z}^{\prime}\right) & 0 & \bar{X}+\lambda \bar{X}^{\prime} \ \bar{Y}+\lambda \bar{Y}^{\prime} & \bar{X}+\lambda \bar{X}^{\prime} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \ b \ c \end{array}\right] \tag{6} ]

  1. C#代码实现

矩阵运算使用MathNet.Numerics库,初始化字段 MatrixBuilder<double> mb = Matrix<double>.Build</double></double>VectorBuilder<double> vb = Vector<double>.Build</double></double>

3.1 计算矩阵重心坐标

Vector BarycentricCoord(Matrix coordinate)
{
    Vector barycentric = vb.Dense(3, 1);

    int lenCoord = coordinate.ColumnCount;

    if (lenCoord > 2)
        barycentric = coordinate.RowSums();

    barycentric /= lenCoord;

    return barycentric;
}

3.2 计算比例因子

取2-范数使用 点乘函数 PointwisePower(2.0)

double ScaleFactor(Matrix sourceCoord, Matrix targetCoord)
{
    double k = 0;

    double s1 = 0;
    double s2 = 0;

    Vector sourceColL2Norm = sourceCoord.PointwisePower(2.0).ColumnSums();

    Vector targetColL2Norm = targetCoord.PointwisePower(2.0).ColumnSums();

    int lenSourceCoord = sourceCoord.ColumnCount;

    int lenTargetCoord = targetCoord.ColumnCount;

    //只有在目标矩阵和源矩阵大小一致时,才能计算
    if (lenSourceCoord == lenTargetCoord)
    {
        s1 = sourceColL2Norm.PointwiseSqrt().PointwiseMultiply(targetColL2Norm.PointwiseSqrt()).Sum();

        s2 = sourceColL2Norm.Sum();
    }

    k = s1 / s2;
    return k;
}

3.3 计算罗德里格参数

这里的罗德里格参数就是式(6)中的([a, b, c]^T)

Vector RoderickParas(double scalceFactor, Matrix sourceCoord, Matrix targetCoord)
{
    Vector roderick = vb.Dense(new double[] { 0, 0, 0 });

    int lenData = sourceCoord.ColumnCount;

    //常系数矩阵
    var lConstant = vb.Dense(new double[3 * lenData]);

    //系数矩阵
    var coefficient = mb.DenseOfArray(new double[3 * lenData, 3]);

    //构造相应矩阵
    for (int i = 0; i < lenData; i++)
    {
        lConstant[3 * i] = targetCoord[0, i] - scalceFactor * sourceCoord[0, i];
        lConstant[3 * i + 1] = targetCoord[1, i] - scalceFactor * sourceCoord[1, i];
        lConstant[3 * i + 2] = targetCoord[2, i] - scalceFactor * sourceCoord[2, i];

        coefficient[3 * i, 0] = 0;
        coefficient[3 * i, 1] = -(targetCoord[2, i] + scalceFactor * sourceCoord[2, i]);
        coefficient[3 * i, 2] = -(targetCoord[1, i] + scalceFactor * sourceCoord[1, i]);
        coefficient[3 * i + 1, 0] = -(targetCoord[2, i] + scalceFactor * sourceCoord[2, i]);
        coefficient[3 * i + 1, 1] = 0;
        coefficient[3 * i + 1, 2] = targetCoord[0, i] + scalceFactor * sourceCoord[0, i];
        coefficient[3 * i + 2, 0] = targetCoord[1, i] + scalceFactor * sourceCoord[1, i];
        coefficient[3 * i + 2, 1] = targetCoord[0, i] + scalceFactor * sourceCoord[0, i];
        coefficient[3 * i + 2, 2] = 0;

    }

    roderick = coefficient.TransposeThisAndMultiply(coefficient).Inverse() * coefficient.Transpose() * lConstant;

    return roderick;
}

3.4 解析罗德里格矩阵

此处,就是式(5)的实现。

///
/// 解析罗德里格矩阵为旋转矩阵和平移矩阵
///
/// 比例因子
/// 罗德里格矩阵
/// 原坐标系坐标
/// 目标坐标系坐标
///
(Matrix, Vector) RotationMatrix(double scaleFactor, Vector roderick, Vector coreSourceCoord, Vector coreTargetCoord)
{
    Matrix rotation = mb.DenseOfArray(new double[,]
    {
        {0,0,0 },
        {0,0,0 },
        {0,0,0 }
    });

    //反对称矩阵
    Matrix antisymmetric = mb.DenseOfArray(new double[,]
    {
        {          0, -roderick[2], -roderick[1] },
        {roderick[2],            0, -roderick[0] },
        {roderick[1],  roderick[0],            0 }
    });

    // 创建单位矩阵
    // 然后与式(5)的 S 执行 + 和 - 操作
    rotation = (DenseMatrix.CreateIdentity(3) - antisymmetric).Inverse() * (DenseMatrix.CreateIdentity(3) + antisymmetric);

    translation = coreTargetCoord - scaleFactor * rotation * coreSourceCoord;

    return (rotation, translation);
}

3.5 调用逻辑

// 1. 字段值准备
MatrixBuilder mb = Matrix.Build;
VectorBuilder vb = Vector.Build;

// 2. 写入源坐标系的坐标。注意这里的x,y,z输入顺序
Matrix source = mb.DenseOfArray(new double[,]
{
    {-17.968, -12.829, 11.058 },
    {-0.019 , 7.117,   11.001 },
    {0.019  , -7.117,  10.981 }
}).Transpose();

// 3. 写入目标坐标系的坐标
Matrix target = mb.DenseOfArray(new double[,]
{
    { 3392088.646,504140.985,17.958 },
    { 3392089.517,504167.820,17.775 },
    { 3392098.729,504156.945,17.751 }
}).Transpose();

// 4. 重心化
var coreSource = BarycentricCoord(source);
var coreTarget = BarycentricCoord(target);

var sourceCoords = source - mb.DenseOfColumnVectors(coreSource, coreSource, coreSource);
var targetCoords = target - mb.DenseOfColumnVectors(coreTarget, coreTarget, coreTarget);

// 5. 求比例因子
double k = ScaleFactor(sourceCoords, targetCoords);

// 6. 解算咯德里格参数
var roderick = RoderickParas(k, sourceCoords, targetCoords);

// 7. 旋转
(Matrix ro, Vector tran) = RotationMatrix(k, roderick, coreSource, coreTarget);

Console.WriteLine("比例因子为:");
Console.WriteLine(k);

Console.WriteLine("旋转矩阵为:");
Console.WriteLine(ro.ToString());

Console.WriteLine("平移参数为:");
Console.WriteLine(tran.ToString());

Console.WriteLine("计算结果为:");
Console.WriteLine(source2.ToString());

  1. 总结

基于罗德里格矩阵的转换方法,在求解两个坐标系间的转换参数,特别是旋转角较大时,实现简单、快速。

大角度非迭代的空间坐标旋转C#实现

Original: https://www.cnblogs.com/AidanLee/p/16988300.html
Author: Aidan_Lee
Title: 大角度非迭代的空间坐标旋转C#实现

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