反常积分敛散性的比较判别法
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1.比较判别法的一般形式
设f ( x ) f(x)f (x ),g ( x ) g(x)g (x )在[ a , + ∞ ) [a,+\infty)[a ,+∞)上 连续，且0 < f ( x ) ≤ g ( x ) 0。则
若∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} g(x) dx ∫a +∞g (x )d x收敛，则有∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} f(x) dx ∫a +∞f (x )d x收敛；
若∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} f(x) dx ∫a +∞f (x )d x发散，则有∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty} g(x) dx ∫a +∞g (x )d x发散。
; 2.比较判别法的极限形式
设f ( x ) f(x)f (x ),g ( x ) g(x)g (x )在[ a , + ∞ ) [a,+\infty)[a ,+∞)上 非负连续，lim x → + ∞ f ( x ) g ( x ) = λ \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda x →+∞lim g (x )f (x )=λ，则
若λ > 0 \lambda>0 λ>0，则∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx ∫a +∞f (x )d x 与 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx ∫a +∞g (x )d x敛散性相同。
若λ = 0 \lambda=0 λ=0，且 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx ∫a +∞g (x )d x收敛，则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx ∫a +∞f (x )d x 收敛。
若λ = + ∞ \lambda=+\infty λ=+∞，且 ∫ a + ∞ g ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}g(x)dx ∫a +∞g (x )d x发散，则 ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx ∫a +∞f (x )d x 发散。
3.常用结论
①常用反常积分一（p积分）
对反常积分∫ a + ∞ 1 x p d x \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx ∫a +∞x p 1 d x，(a>0)
若p > 1 p>1 p >1，则该反常积分收敛；
若p ≤ 1 p≤1 p ≤1，则该反常积分发散。
②常用反常积分二(q积分)
对反常积分∫ a b 1 ( x − a ) q d x \int_{a}^{b}\frac{1}{(x-a)^q}dx ∫a b (x −a )q 1 d x，(a>0)
若q < 1 q，则该反常积分收敛；
若q ≥ 1 q≥1 q ≥1，则该反常积分发散。
③常用反常积分三
对反常积分∫ 2 + ∞ 1 x p ln q x d x \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^p\ln^qx}dx ∫2 +∞x p l n q x 1 d x，
若P > 1 P>1 P >1，则对任意q该反常积分都收敛；
若P ＜ 1 P＜1 P ＜1，则对任意q该反常积分都发散；
若P = 1 P=1 P =1，则q>1时该反常积分收敛，q≤1时该反常积分发散。
④常用反常积分四
∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}∫−∞+∞e −x 2 d x =π
对于一般的多数反常积分，如果可以化成p积分或q积分的形式，则化成即可再判断敛散性。
如果不能，则先尽可能地化简，然后选择合适的p积分或q积分，将其与之进行比较即可。
Original: https://blog.csdn.net/weixin_48964486/article/details/127390723
Author: 侯小啾
Title: 反常积分敛散性的比较判别法专题（及常用反常积分）
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