一、微积分
; 定义函数u = f(x) = 3x² – 4x，求x = 1时的导数
%matplotlib inline
import numpy as np
from matplotlib_inline import backend_inline
from d2l import torch as d2l
定义 u = f(x) = 3x² - 4x
令x=1，h趋近于0，即 u` = 2
def f(x):
return 3 * x ** 2 - 4 * x
def numerical_lim(f, x, h):
return (f(x + h) - f(x)) / h
h = 0.1
for i in range(5):
print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
h *= 0.1
"""
h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003
"""
use_svg_display()函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像
#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中
def use_svg_display():
"""使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')
定义set_figsize函数来设置图表大小
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
"""设置matplotlib的图表大小"""
use_svg_display()
d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
"""设置matplotlib的轴"""
axes.set_xlabel(xlabel)
axes.set_ylabel(ylabel)
axes.set_xscale(xscale)
axes.set_yscale(yscale)
axes.set_xlim(xlim)
axes.set_ylim(ylim)
if legend:
axes.legend(legend)
axes.grid()
定义plot函数来简洁地绘制多条曲线
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
"""绘制数据点"""
if legend is None:
legend = []
set_figsize(figsize)
axes = axes if axes else d2l.plt.gca()
def has_one_axis(X):
return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
and not hasattr(X[0], "__len__"))
if has_one_axis(X):
X = [X]
if Y is None:
X, Y = [[]] * len(X), X
elif has_one_axis(Y):
Y = [Y]
if len(X) != len(Y):
X = X * len(Y)
axes.cla()
for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
if len(x):
axes.plot(x, y, fmt)
else:
axes.plot(y, fmt)
set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
绘制函数 u = f(x)及其在 x = 1处的切线 y = 2x - 3，其中系数是切线的斜率
x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
二、自动微分
; 1，定义函数y = 2 (x^T) x，对列向量x求导
创建变量x并为其分配一个初始值
import torch
x = torch.arange(5.0)
x
"""
tensor([0., 1., 2., 3., 4.])
"""
存储梯度
x.requires_grad_(True)
x.grad
计算y
y = 2 * torch.dot(x, x)
y
"""
tensor(60., grad_fn=)
"""
调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度，并打印这些梯度
y.backward()
x.grad
"""
tensor([ 0., 4., 8., 12., 16.])
"""
x.grad == 4 * x
"""
tensor([True, True, True, True, True])
"""
2，对函数y = x.sum()求导
在默认情况下，PyTorch会累积梯度，需要清除之前的值
x.grad.zero_()
求向量的sum，梯度为全1
y = x.sum()
y.backward()
x.grad
"""
tensor([1., 1., 1., 1., 1.])
"""
3，非标量变量的反向传播
创建变量x并为其分配一个初始值
import torch
x = torch.arange(5.0)
x.requires_grad_(True)
x.grad
当y不是标量时，向量y关于向量x的导数的最自然解释是一个矩阵
对于高阶和高维的y和x，求导的结果可以是一个高阶张量
y = x * x
y.sum().backward()
x.grad
"""
tensor([0., 2., 4., 6., 8.])
"""
4，分离计算
分离计算即：将某些计算移动到记录的计算图之外，函数为： detach()
假设y是作为x的函数计算的，而z则是作为y和x的函数计算的
分离y来返回一个新变量u，该变量与y具有相同的值， 但丢弃计算图中如何计算y的任何信息
即：梯度不会向后流经u到x
反向传播函数计算z=u _x关于x的偏导数，同时将u作为常数处理， 而不是z=x_x*x关于x的偏导数
创建变量x并为其分配一个初始值
import torch
x = torch.arange(5.0)
x.requires_grad_(True)
x.grad
y = x * x
u = y.detach()
z = u * x
z.sum().backward()
x.grad == u
"""
tensor([True, True, True, True, True])
"""
由于记录了y的计算结果，可以随后在y上调用反向传播， 得到y=xx关于的x的导数，即 2 * x*
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x
"""
tensor([True, True, True, True, True])
"""
5， Python控制流的梯度计算
使用自动微分的一个好处是： 即使构建函数的计算图需要通过Python控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），仍然可以计算得到的变量的梯度
while循环的迭代次数和if语句的结果都取决于输入a的值
def f(a):
b = a * 2
while b.norm() < 1000:
b = b * 2
if b.sum() > 0:
c = b
else:
c = 100 * b
return c
f函数输入a中是分段线性的，对于任何a，存在某个常量标量k，使得f(a)=k*a，其中k的值取决于输入a
a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()
故可以用d/a验证梯度是否正确
a.grad == d / a
"""
tensor(True)
"""
Original: https://blog.csdn.net/qq_41264055/article/details/126607917
Author: beyond谚语
Title: 三、微积分
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