奇异值分解压缩图片
对任意的 A ∈ C r m × n 有 S V D 分解， A = U ( Σ O O O ) V H 其中 U , V 为酉矩阵， U = ( u 1 , . . , u m ) ∈ C m m × m V H = ( v 1 T . . v n T ) ∈ C n n × n Σ = d i a g ( σ 1 , . . , σ r ) , σ i 为 A 的奇异值 , i = 1 , . . , r 且 σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ r > 0 于是， A = σ 1 u 1 v 1 T + σ 2 u 2 v 2 T + . . . . + σ r u r v r T ， 可以看到，奇异值 σ i 越小， σ i u i v i T 对 A 的贡献越小。 即只要保留较大 σ i 和对应的 u i , v i T ，就可以保留 A 的主要特征。 即保留前 k 个 σ i , ( k ≤ r ) , 用 B = σ 1 u 1 v 1 T + . . . + σ k u k v k T 来近似 A 压缩比 = m n ( m + n + 1 ) k , m n 为 A 的大小 , ( m + n + 1 ) k 为 B 的大小 （ n u m p y 带有 S V D 分解的函数，即求出 U , Σ , V H , 压缩图片就变得很简单了） 对任意的A\in C^{m \times n}_r\quad 有 SVD分解，\ A=U \begin{pmatrix} \Sigma & O \ O & O \end{pmatrix} V^H \其中U,V为酉矩阵，U=(u_1,..,u_m) \in C^{m \times m}_m \quad V^H= \begin{pmatrix} v_1^T\ .\ .\ v_nT \end{pmatrix}\in C^{n \times n}_n \ \Sigma=diag(\sigma_1,..,\sigma_r),\sigma_i为A的奇异值,i=1,..,r \且\sigma_1\ge\sigma_2\ge…\ge \sigma_r>0 \ \\quad \ 于是，A=\sigma_1u_1v_1^T+\sigma_2u_2v_2^T+….+\sigma_ru_rv_r^T ， \可以看到，奇异值\sigma_i越小，\sigma_iu_iv_i^T对A的贡献越小。\ 即只要保留较大\sigma_i和对应的u_i,v_i^T，就可以保留A的主要特征。 \ 即保留前k个\sigma_i,(k\leq r),用B=\sigma_1u_1v_1^T+…+\sigma_k u_kv_k^T来近似A \ 压缩比=\frac{mn}{(m+n+1)k},mn为A的大小,(m+n+1)k为B的大小 \\quad \（numpy带有SVD分解的函数，即求出U,\Sigma,V^H,压缩图片就变得很简单了）对任意的A ∈C r m ×n 有S V D 分解，A =U (ΣO O O )V H 其中U ,V 为酉矩阵，U =(u 1 ,..,u m )∈C m m ×m V H =⎝⎛v 1 T ..v n T ⎠⎞∈C n n ×n Σ=d ia g (σ1 ,..,σr ),σi 为A 的奇异值,i =1 ,..,r 且σ1 ≥σ2 ≥…≥σr >0 于是，A =σ1 u 1 v 1 T +σ2 u 2 v 2 T +….+σr u r v r T ，可以看到，奇异值σi 越小，σi u i v i T 对A 的贡献越小。即只要保留较大σi 和对应的u i ,v i T ，就可以保留A 的主要特征。即保留前k 个σi ,(k ≤r ),用B =σ1 u 1 v 1 T +…+σk u k v k T 来近似A 压缩比=(m +n +1 )k mn ,mn 为A 的大小,(m +n +1 )k 为B 的大小（n u m p y 带有S V D 分解的函数，即求出U ,Σ,V H ,压缩图片就变得很简单了）
from PIL import Image
import numpy as np
image_dir = "D:/zmzm/test.png"
x = Image.open(image_dir)
data = np.asarray(x)
image = Image.fromarray(data[:,:,0])
image.show()
u, s, vh = np.linalg.svd(data[:,:,0])
u=np.asmatrix(u)
vh=np.asmatrix(vh)
A=np.asmatrix(np.zeros(data[:,:,0].shape))
m , n = A.shape
for k in range(0,150):
if(k%30==0 and k!=0) :
image = Image.fromarray(A)
image.show()
print("压缩比：",m*n/(m+n+1)/k)
A=A+s[k]*u[:,k]*vh[k]
压缩比： 20.516732026143792
压缩比： 10.258366013071896
压缩比： 6.838910675381263
压缩比： 5.129183006535948
原图
彩色原图
Original: https://blog.csdn.net/weixin_51690217/article/details/127539913
Author: c哟嚯
Title: Python—SVD分解压缩图片
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