二分算法通常用于有序序列中查找元素：
思路很简单，细节是魔鬼。
一.有序序列中是否存在满足某条件的元素
首先，二分查找的框架：
其次，最基本的查找有序序列中的一个元素
循环的条件为什么是
答：要保证能遍历到数组的第一个元素和最后一个元素。因为初始化 h 的赋值是 len(nums) – 1，即最后一个元素的索引，而不是 len(nums)。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [l, h]，后者相当于左闭右开区间 [l, h)，因为索引大小为 len(nums) 是越界的。
我们这个算法中使用的是 [l, h] 两端都闭的区间。 这个区间就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」(search space)。
此算法有什么缺陷？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。
二、寻找一个数（基本的二分搜索）
这个场景是最简单的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。
1. 为什么 while 循环的条件中是
答：因为初始化 h 的赋值是 len(nums) – 1，即最后一个元素的索引，而不是 len(nums)。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [l, h]，后者相当于左闭右开区间 [l, h)，因为索引大小为 len(nums) 是越界的。
我们这个算法中使用的是 [l, h] 两端都闭的区间。 这个区间就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」(search space)。
什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：
while(l
while(l < h)的终止条件是 l == h，写成区间的形式就是 [h, h]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]， 这时候搜索区间非空，还有一个数 2，但此时 while 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。
当然，如果你非要用 while(l < h) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
2. 为什么 l = m + 1，h = m – 1？我看有的代码是 h = m 或者 l = m，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？
答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。
刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [l, h]。那么当我们发现索引 m 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？
当然是去搜索 [l, m – 1] 或者 [m + 1, h] 对不对？因为 m 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
3. 此算法有什么缺陷？
答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。
这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了。
我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。
三、寻找左侧边界的二分搜索
直接看代码，其中的标记是需要注意的细节：
为什么 while(l < h) 而不是
答：用相同的方法分析，因为初始化 h = len(nums) 而不是 len(nums) – 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [l, h) 左闭右开。
while(l < h) 终止的条件是 l == h，此时搜索区间 [l, l) 恰巧为空，所以可以正确终止。
为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。如果 target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出，函数的返回值（即 l 变量的值）取值区间是闭区间 [0, len(nums)]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：
_3._为什么 l = m + 1，h = m ？和之前的算法不一样？
答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [l, h) 左闭右开，所以当 nums[m] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 m 分割成两个区间，即 [l, m) 或 [m + 1, h)。
_4._为什么该算法能够搜索左侧边界？
答：关键在于对于 nums[m] == target 这种情况的处理：
可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 h，在区间 [l, m) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
_5._为什么返回 l 而不是 h？
答：返回l和h都是一样的，因为 while 终止的条件是 l == h。
四、寻找右侧边界的二分查找
寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同，已标注：
_1._为什么这个算法能够找到右侧边界？
答：类似地，关键点还是这里：
当 nums[m] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 l，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。
_2._为什么最后返回 l – 1 而不像左侧边界的函数，返回 l？而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回 h 才对。
答：首先，while 循环的终止条件是 l == h，所以 l 和 h 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 h – 1 好了。
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
if nums[m] == target: l = m + 1
因为我们对 l 的更新必须是 l = m + 1，就是说 while 循环结束时，nums[l] 一定不等于target 了，而 nums[l – 1] 可能是target。
至于为什么 l 的更新必须是 l = m + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。
_3._为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 l == h，就是说 l 的取值范围是 [0, len(nums)]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：
五、最后总结
先来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：
第一个，最基本的二分查找算法：
因为我们初始化 h = len(nums) - 1所以决定了我们的「搜索区间」是 [l, h]所以决定了 while (l h)同时也决定了 l = m+1 和 h = m-1因为我们只需找到一个 target 的索引即可所以当 nums[m] == target 时可以立即返回
第二个，寻找左侧边界的二分查找：
因为我们初始化 h = len(nums)所以决定了我们的「搜索区间」是 [l, h)所以决定了 while (l < h)同时也决定了 l = m+1 和 h = m因为我们需找到 target 的最左侧索引所以当 nums[m] == target 时不要立即返回而要收紧右侧边界以锁定左侧边界
第三个，寻找右侧边界的二分查找：
因为我们初始化 h = len(nums)所以决定了我们的「搜索区间」是 [l, h)所以决定了 while (l < h)同时也决定了 l = m+1 和 h = m因为我们需找到 target 的最右侧索引所以当 nums[m] == target 时不要立即返回而要收紧左侧边界以锁定右侧边界又因为收紧左侧边界时必须 l = m + 1所以最后无论返回 l 还是 h，必须减一
如果以上内容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的细节不过如此。
通过本文，你学会了：
_1._分析二分查找代码时，不要出现 else，全部展开成 elif 方便理解。
_2._注意「搜索区间」和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得在最后检查。
_3._如需要搜索左右边界，只要在 nums[m] == target 时做修改即可。搜索右侧时需要减一。
就算遇到其他的二分查找变形，运用这几点技巧，也能保证你写出正确的代码。LeetCode Explore 中有二分查找的专项练习，其中提供了三种不同的代码模板，现在你再去看看，很容易就知道这几个模板的实现原理了。
Original: https://www.cnblogs.com/cs-markdown10086/p/15081105.html
Author: NEU_ShuaiCheng
Title: 编程思想与算法leetcode_二分算法详解
原创文章受到原创版权保护。转载请注明出处：https://www.johngo689.com/714459/
转载文章受原作者版权保护。转载请注明原作者出处！