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1.1143最长公共子序列
1.1.题目
; 1.2.解答
本题和动态规划： 718. 最长重复子数组 区别在于这里 不要求是连续的了，但要有相对顺序，即：”ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
继续动规五部曲分析如下：
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为 [0, i - 1]的字符串text1与长度为 [0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为 dp[i][j]
同理这里的定义和昨天的题目一样，为了方便写递推公式，给dp数组添加了第0行、第0列。
2.确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同， text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
- 如果
text1[i - 1]与text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; - 如果
text1[i - 1]与text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
注意：这里并不是很理解。。。
代码如下：
if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
3.dp数组如何初始化
先看看 dp[i][0]应该是多少呢？
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以 dp[i][0] = 0;，同理 dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
代码：
vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
4.确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出 dp[i][j]，如图。那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
5.举例推导dp数组
以输入： text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图
最后给出代码如下，和昨天的题目一样，自己也是做了调整，代码中的
i/j表示的是 nums的索引，而不是dp数组的索引。
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2)
{
if(text1.empty() || text2.empty())
return 0;
int result = 0;
vector<vector<int>> dp(text1.size()+1, vector<int>(text2.size()+1, 0));
for(int i = 0; i < text1.size(); i++)
{
for(int j = 0; j < text2.size(); j++)
{
if(text1[i] == text2[j])
{
dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1;
}
else
{
dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j], dp[i][j+1]);
}
result = dp[i+1][j+1] > result ? dp[i+1][j+1] : result;
}
}
return result;
}
注意：这道题感觉和昨天的题目非常相似，但是当目前的两个数字不相等的时候，为什么是取前面的最长序列的最大值，自己还不是特别明白。。。
2.1035不相交的线
2.1.题目
; 2.2.解答
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！
直线不能相交， 这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。
拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：
其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）
这么分析完之后，大家可以发现： 本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！那么本题就和我们刚刚讲过的这道题目 动态规划：1143.最长公共子序列 就是一样一样的了。
这里就不给出代码了，因为和上面的代码其实是完全一样的！
3.53最大子序和
3.1.题目
; 3.2.解答
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]： 包括下标i之前的 最大连续子序列和为 dp[i]。注意：这里一定是包含 nums[i]的，因为是连续的子序列。
2.确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以 dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
注意：以上两种方式，不管那种方式，都一定是包含 nums[i]的！这个要和dp数组的定义紧密联系到一起！
3.dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来 dp[i]是依赖于 dp[i - 1]的状态， dp[0]就是递推公式的基础。根据dp[i]的定义，很明显 dp[0]应为 nums[0]，即 dp[0] = nums[0]。
4.确定遍历顺序
递推公式中 dp[i]依赖于 dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
5.举例推导dp数组
以示例一为例，输入： nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下
最后给出代码如下，很简单
int maxSubArray(vector<int> &nums)
{
if(nums.empty())
return 0;
vector<int> dp(nums.size(), 0);
dp[0] = nums[0];
int result = dp[0];
for(int i = 1; i < nums.size(); i++)
{
dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i]);
result = dp[i] > result ? dp[i] : result;
}
return result;
}
Original: https://blog.csdn.net/qq_42731705/article/details/127818958
Author: Cc1924
Title: 代码随想录53——动态规划：1143最长公共子序列、1035不相交的线、53最大子序和
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