在《统计推断——假设检验——简单线性回归分析》，我们学到了一个回归模型评价指标：决定系数
。
回顾一下决定系数
的公式：，其中代表离差总平方和，代表残差平方和，代表回归平方和，各指标计算如下所示：
例如下图中，P表示某一个观察点。
则根据：
，根据上图进行分解：。
我们以下面数据为例，以
生成点：
生成的数据点
及如下图所示.，在图中，蓝线上的数据是我们生成的数据，水平红线是该数据的平均值。这样根据公式我们就可以求出。
此数据的线性回归方程为
，将代入可以求出相应的，然后根据公式，我们可以求得残差平方和。
最后根据公式：
算出来决定系数
，那么如何定义它的效益呢？
- 为1.0最佳。这意味着你的回归模型没有错误。
- 为0表示你的回归并不比取平均值更好，即你没有使用其他变量中的任何信息。
- 为负表示你的回归模型的表现比平均值还差。
下面我们来考虑一个问题，
可以为负吗？什么时候为负？
通过上面我们知道：任何大于零的
都意味着回归分析比仅使用一条穿过平均值的水平线要好。在极少数情况下，你会得到负值，你可能应该重新考虑回归分析，尤其是在强制进行截距的情况下。
我们还是继续上面的数据进行讨论，我们随便找个线性回归方程为
，如下图黑线代表，将代入可以求出相应的，然后根据公式，我们可以求得残差平方和。
最后根据公式：
。
这个时候我们计算出来的
就变成了负数，他代表的意义在于：该线性回归模型（黑线）对数据的拟合效果，还不如均值模型（红线）。在现实应用中，很少会出现这么离谱的情况，所以一般认为有用的模型的的取值范围在0-1之间。
Original: https://blog.csdn.net/huangguohui_123/article/details/111207460
Author: xia ge tou lia
Title: 统计推断——假设检验——线性回归——R的平方可以为负数
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