1 什么是傅里叶变换
傅里叶变换本质上是时域和频域之间的转换
一个合成信号可以由不同频率的周期信号叠加而成
比较容易理解的是通俗的信号随着时间变化的函数图像：
傅里叶变换就是将信号随时间变化的图像转换成信号随频率变化的图像
这个信号只有一个固定的频率，所以傅里叶变换完之后的图像会在这个固定频率处出现一个异常。
; 2 类傅里叶变换如何进行
将这个函数图像的形状转换为绕着一个点不断旋转的图像，频率由小到大增加，会发现函数图像会在旋转频率与实际信号频率相同时出现一个波峰，这就是可以测试出这段函数图像的频率，相当于一个滤波器。
如图就是不同旋转频率下所呈现出的图像，基本上都是对称的
当旋转频率与实际信号频率相同时，会出现以下异常：
此时定义一个旋转图像的质心，那么质心随频率的变化如图：
这就是类傅里叶变换的原理。
注意：初始阶段的峰值只是因为信号全是正值引起的刚开始时的偏置，假如信号均匀的分布在正负两端，就不会出现开始时的峰值：
根据这个原理就可以处理复杂信号了：
3 数学方式表达傅里叶变换
在数学公式中，用复平面（complex plane）的概念表示将信号图像绕圆旋转的过程，
e 2 π i f t e^{2\pi ift}e 2 πi f t
其中f表示旋转的频率，t表示时间，假设 f = 1 10 \ f= \frac{1}{10}f =1 0 1 ，那么当t = 10 \ t=10 t =1 0时，刚好旋转完一周。
再将旋转公式与信号函数相乘，表示信号开始绕圆周旋转，
g ( t ) e 2 π i f t g(t)e^{2\pi ift}g (t )e 2 πi f t
再将公式进行一个积分，就能表示出质心，
1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 g ( t ) e 2 π i f t d t \frac{1}{t2-t1}\int_{t1}^{t2}g(t)e^{2\pi ift}dt t 2 −t 1 1 ∫t 1 t 2 g (t )e 2 πi f t d t
最后真实的傅里叶变换唯一的不同点在于，傅里叶公式只保留积分过程，
∫ t 1 t 2 g ( t ) e 2 π i f t d t \int_{t1}^{t2}g(t)e^{2\pi ift}dt ∫t 1 t 2 g (t )e 2 πi f t d t
物理意义也就不在是质心的位置，而是质心的累加，如果信号的一个频率段下持续的时间越久，那么这个质心就累加的越多，位置越远，数值越大。而其他不明显的频段下，质心均匀分布，这个数值会不断被抵消，所以可以过滤出真实的频率。
; 参考资料
3Blue1Brown，But what is the Fourier Transform? A visual introduction.
Original: https://blog.csdn.net/chengzz618/article/details/123516554
Author: Chengzz_Lord
Title: 傅里叶变换原理—根据3Blue1Brown
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