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数字图像处理 第四章 频率域滤波

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第四章 频率域滤波

一、单变量的傅里叶变换（DFT）

1.1DFT及其反变换IDFT

数字图像处理 第四章 频率域滤波
其中W N = e − j 2 π N W_{N}=e^{-j\frac{2\pi }{N}}W N ​=e −j N 2 π​。

; 1.2DFT的重要性质

1.2.1奇偶对称性

数字图像处理 第四章 频率域滤波

; 1.2.2虚实特性

数字图像处理 第四章 频率域滤波

1.2.3复序列性质

数字图像处理 第四章 频率域滤波

; 1.3采样定理

1.3.1不失真采样条件

数字图像处理 第四章 频率域滤波

; 1.3.2采样的恢复

数字图像处理 第四章 频率域滤波
可以分析出，DFT点数越多，则用它恢复模拟频谱就会越精确。通过以下两种方法可以增加DFT点数N。
（1）提高采样频率f s f_{s}f s ​。
（2）增大序列长度（充0）。

二、两个变量的函数的扩展

2.1二维连续傅里叶变换对

傅里叶变换：F ( u , v ) = ∫ − ∝ + ∝ ∫ − ∝ + ∝ f ( t , z ) e − j 2 π ( u t + v z ) d t d z F(u,v)=\int_{-\propto }^{+\propto }\int_{-\propto }^{+\propto }f(t,z)e^{-j2\pi (ut+vz)}dtdz F (u ,v )=∫−∝+∝​∫−∝+∝​f (t ,z )e −j 2 π(u t +v z )d t d z
傅里叶反变换：f ( t , z ) = ∫ − ∝ + ∝ ∫ − ∝ + ∝ F ( u , v ) e j 2 π ( u t + v z ) d u d v f(t,z)=\int_{-\propto }^{+\propto }\int_{-\propto }^{+\propto }F(u,v)e^{j2\pi (ut+vz)}dudv f (t ,z )=∫−∝+∝​∫−∝+∝​F (u ,v )e j 2 π(u t +v z )d u d v

2.2二维傅里叶变换的性质

2.2.1平移与旋转

f ( x , y ) e j 2 π ( u 0 x / M = v 0 y / N ) ⇔ F ( u − u 0 , v − v 0 ) f(x,y)e^{j2\pi (u_{0}x/M=v_{0}y/N)}\Leftrightarrow F(u-u_{0},v-v_{0})f (x ,y )e j 2 π(u 0 ​x /M =v 0 ​y /N )⇔F (u −u 0 ​,v −v 0 ​)
f ( x − x 0 , y − y 0 ) ⇔ F ( u , v ) e − j 2 π ( x 0 u / M + y 0 v / N ) f(x-x_{0},y-y_{0})\Leftrightarrow F(u,v)e^{-j2\pi (x_{0}u/M+y_{0}v/N)}f (x −x 0 ​,y −y 0 ​)⇔F (u ,v )e −j 2 π(x 0 ​u /M +y 0 ​v /N )

2.2.2周期性

F ( u , v ) = F ( u + k 1 M , v ) = F ( u , v + k 2 N ) = F ( u + k 1 M , v + k 2 N ) F(u,v)=F(u+k_{1}M,v)=F(u,v+k_{2}N)=F(u+k_{1}M,v+k_{2}N)F (u ,v )=F (u +k 1 ​M ,v )=F (u ,v +k 2 ​N )=F (u +k 1 ​M ,v +k 2 ​N )
f ( x , y ) = f ( x + k 1 M , y ) = f ( x , y + k 2 N ) = f ( x + k 1 M , y + k 2 N ) f(x,y)=f(x+k_{1}M,y)=f(x,y+k_{2}N)=f(x+k_{1}M,y+k_{2}N)f (x ,y )=f (x +k 1 ​M ,y )=f (x ,y +k 2 ​N )=f (x +k 1 ​M ,y +k 2 ​N )

2.2.3对称性

偶数部分：W e ( x , y ) = w ( x , y ) + w ( − x , − y ) 2 W_{e}(x,y)=\frac{w(x,y)+w(-x,-y)}{2}W e ​(x ,y )=2 w (x ,y )+w (−x ,−y )​
奇数部分：W o ( x , y ) = w ( x , y ) − w ( − x , − y ) 2 W_{o}(x,y)=\frac{w(x,y)-w(-x,-y)}{2}W o ​(x ,y )=2 w (x ,y )−w (−x ,−y )​

2.3Python实现傅里叶变换

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
img = cv2.imread('demo.jpg', 0)
rows, cols = img.shape
print(rows, cols)

nrows = cv2.getOptimalDFTSize(rows)
ncols = cv2.getOptimalDFTSize(cols)
print(nrows, ncols)
nimg = np.zeros((nrows, ncols))
nimg[:rows, :cols] = img
img = nimg

dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows // 2, cols // 2

mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)
mask[crow - 30:crow + 30, ccol - 30:ccol + 30] = 1

fshift = dft_shift * mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv2.idft(f_ishift)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122), plt.imshow(img_back, cmap='gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

三、 频率域滤波基础

3.1频率域的滤波

和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的 第一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个元素乘以F的第二个元素。一般，F的元素为复数，H的元素为实数。H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换的相位，F中实部和虚部的乘数(H)可以抵消相角ϕ ( u , v ) = a r c t a n I ( u , v ) R ( u , v ) \phi (u,v)=arctan\frac{I(u,v)}{R(u,v)}ϕ(u ,v )=a r c t a n R (u ,v )I (u ,v )​。

3.2频率域的滤波步骤

（1）用( − 1 ) x + y (-1)^{x+y}(−1 )x +y乘以输入图像进行中心变换f ( x , y ) ( − 1 ) x + y ⇔ F ( u − M / 2 , v − N / 2 ) f(x,y)(-1)^{^{x+y}}\Leftrightarrow F(u-M/2,v-N/2)f (x ,y )(−1 )x +y ⇔F (u −M /2 ,v −N /2 )；
（2）计算（1）中的DFT F(u,v)；
（3）用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v)；
（4）计算（3）中结果的IDFT；
（5）得到4中结果的实部；
（6）用( − 1 ) x + y (-1)^{x+y}(−1 )x +y乘以（5）中的结果，取消输入图像的乘数。

3.3空间和频率域滤波间的对应

空间域和频率域滤波间的纽带是卷积定理。
h ( x , y ) ⇔ H ( u , v ) h(x,y)\Leftrightarrow H(u,v)h (x ,y )⇔H (u ,v )，h ( x , y ) h(x,y)h (x ,y )是一个空间滤波器，H ( u , v ) H(u,v)H (u ,v )称为的脉冲响应。
公式表明，空间域和频率域中的滤波器组成了傅 里叶变换对。给出在频率域的滤波器，可以通过反傅里叶变换得到 在空间域对应的滤波器，反之亦然。滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用更小 的滤波器模板。可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域 使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导。对应关系如下图所示。

数字图像处理 第四章 频率域滤波

结论：
（1）低通滤波器： 当H(u)有很宽的轮廓时(大的σ \sigma σ值)，h(x)有 很窄的轮廓，反之亦然。当接近无限时， H(u)趋于常量函数，而h(x)趋于冲激函数。两个低通滤波器的相似之处在于两个域中的 值均为正。所以，在空间域使用带正系数的模板可以实现低通滤波。频率域低通滤波器越窄，滤除的低频成分就越多，使得图像就越模糊；在空间域，这意味着低通滤波器就越宽，模板就越大。
（2）高通滤波器：空间域滤波器有正值和负值，一旦值变为负数，就再也不会变为正数。为什么频率域中的内容在空间域要使用小空间模板。频率域可以凭直观指定滤波器，空间域滤波效果取决于空间模板的大小。

; 四、使用频率域滤波器平滑图像

4.1理想低通滤波器

截断傅里叶变换中的所有高频成分，这些高 频成分处于指定距离之外
H ( u , v ) = { 1 D ( u , v ) ≤ D 0 0 D ( u , v ) > D 0 H(u,v)=\left{\begin{matrix} 1 & D(u,v)\leq D_{0}& \ 0& D(u,v)> D_{0} & \end{matrix}\right.H (u ,v )={1 0 ​D (u ,v )≤D 0 ​D (u ,v )>D 0 ​​​
频率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2),从点(u,v)到中心的距离如下：
D ( u , v ) = [ ( u − P / 2 ) 2 + ( v − Q / 2 ) 2 ] 1 / 2 D(u,v)=[(u-P/2)^{2}+(v-Q/2)^{2}]^{1/2}D (u ,v )=[(u −P /2 )2 +(v −Q /2 )2 ]1 /2

数字图像处理 第四章 频率域滤波
上图说明在半径为的圆内，所有频率没有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。
理想低通滤波器距离——具有振铃现象，如下图所示。
数字图像处理 第四章 频率域滤波

; 4.2布特沃斯低通滤波器

n级巴特沃斯低通滤波器（BLPF）定义如下：
H ( u , v ) = 1 1 + [ D ( u , v ) / D 0 ] 2 n H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_{0}]^{2n}}H (u ,v )=1 +[D (u ,v )/D 0 ​]2 n 1 ​
D 0 D_{_{0}}D 0 ​​为截至频率距原点的距离，D(u,v)是点(u,v)距原点的距离。不同于ILPF，BLPF变换函数在通带与被滤除的频率之间没有明显的截断.当D(u,v)=D0时，H(u,v)=0.5(最大值是1，当 D(u,v)=0)

数字图像处理 第四章 频率域滤波

进行平滑以改进图像质量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF（振铃现象）。
布特沃斯低通滤波器n=2时的结果如下图。

数字图像处理 第四章 频率域滤波

4.3高斯低通滤波器

二维高斯低通滤波器（GLPF）定义如下：
H ( u , v ) = e − D 2 ( u , v ) / 2 σ 2 H(u,v)=e^{-D^{2}(u,v)/2\sigma^{2}}H (u ,v )=e −D 2 (u ,v )/2 σ2，D(u,v)是点(u,v)距原点的距离，使
σ = D 0 \sigma=D_{{0}}σ=D 0 ​​。
H ( u , v ) = e − D 2 ( u , v ) / 2 D 0 2 H(u,v)=e^{-D^{2}(u,v)/2D{0}^{2}}H (u ,v )=e −D 2 (u ,v )/2 D 0 2 ​，当D(u,v)=时，滤波器下降到它最大值的0.607处。
使用高斯低通滤波器平滑图像结果如下图所示：

数字图像处理 第四章 频率域滤波

结论：GLPF不能达到有相同截止频率的二阶 BLPF的平滑效果，GLPF没有振铃。如果需要严格控制低频和高频之间截至频率的过渡，选用BLPF，代价是可能 产生振铃。

; 五、使用频率域滤波器锐化图像

5.1理想高通滤波器

截断傅里叶变换中的所有低频成分，这些低 频成分处于指定距离D 0 D_{0}D 0 ​之内，
H ( u , v ) = { 0 D ( u , v ) ≤ D 0 1 D ( u , v ) > D 0 H(u,v)=\left{\begin{matrix} 0 & D(u,v)\leq D_{0}& \ 1& D(u,v)> D_{0} & \end{matrix}\right.H (u ,v )={0 1 ​D (u ,v )≤D 0 ​D (u ,v )>D 0 ​​​
频率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，从点 (u,v)到中心（原点）的距离如下：
D ( u , v ) = [ ( u − M / 2 ) 2 + ( v − N / 2 ) 2 ] 1 / 2 D(u,v)=[(u-M/2)^{2}+(v-N/2)^{2}]^{1/2}D (u ,v )=[(u −M /2 )2 +(v −N /2 )2 ]1 /2
使用IHPF对图像滤波后的结果如下图：

数字图像处理 第四章 频率域滤波

结论：图a和图b的振铃问题十分明显。

; 5.2布特沃斯高通滤波器

n阶且截至频率距原点的距离为D 0 D_{0}D 0 ​的巴特沃 思高通滤波器(BHPF)定义为:
H ( u , v ) = 1 1 + [ D 0 / D ( u , v ) ] 2 n H(u,v)=\frac{1}{1+[D_{0}/D(u,v)]^{2n}}H (u ,v )=1 +[D 0 ​/D (u ,v )]2 n 1 ​
二阶布特沃斯高通滤波器对图像滤波的结果如下图所示：

数字图像处理 第四章 频率域滤波

结论：BHPF的结果比IHPF的结果平滑得多。

5.3高斯高通滤波器

截频距原点为D 0 D_{0}D 0 ​的高斯高通滤波器(GHPF)定义为:
H ( u , v ) = 1 − e − D 2 ( u , v ) / 2 D 0 2 H(u,v)=1-e^{-D^{2}(u,v)/2D_{0}^{2}}H (u ,v )=1 −e −D 2 (u ,v )/2 D 0 2 ​
D ( u , v ) = [ ( u − M / 2 ) 2 + ( v − N / 2 ) 2 ] 1 / 2 D(u,v)=[(u-M/2)^{2}+(v-N/2)^{2}]^{1/2}D (u ,v )=[(u −M /2 )2 +(v −N /2 )2 ]1 /2
高斯高通滤波器对图像滤波的结果如下图所示：

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; 5.4频率域的拉普拉斯算子

原点从(0,0)移到(M/2,N/2),所以，滤波函数平移为H ( u , v ) = − [ ( u − M / 2 ) 2 + ( v − N / 2 ) 2 ] H(u,v)=-[(u-M/2)^{2}+(v-N/2)^{2}]H (u ,v )=−[(u −M /2 )2 +(v −N /2 )2 ]，空间域拉普拉斯算子过滤后的图像可由计算 H(u,v)F(u,v)的反傅里叶变换得到▽ 2 f ( x , y ) = ℑ − 1 { − [ ( u − M / 2 ) 2 + ( v − N / 2 ) 2 ] F ( u , v ) } \triangledown ^{2}f(x,y)=\Im ^{-1}\left { -[(u-M/2)^{2}+(v-N/2)^{2}]F(u,v) \right }▽2 f (x ,y )=ℑ−1 {−[(u −M /2 )2 +(v −N /2 )2 ]F (u ,v )}。
使用拉普拉斯算子在频率域锐化图像的结果如下图所示：

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5.5钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波

钝化模板(锐化或高通图像)：从一幅图像减去 其自身模糊图像而生成的锐化图像构成。在频率 域，即从图像本身减去低通滤波（模糊）后的图 像而得到高通滤波（锐化）的图像：
f h p ( x , y ) = f ( x , y ) − f l p ( x , y ) f_{hp}(x,y)=f(x,y)-f_{lp}(x,y)f h p ​(x ,y )=f (x ,y )−f l p ​(x ,y )。
高频提升过滤：f h p ( x , y ) = A f ( x , y ) − f l p ( x , y ) f_{hp}(x,y)=Af(x,y)-f_{lp}(x,y)f h p ​(x ,y )=A f (x ,y )−f l p ​(x ,y )，当A=1，即高通过滤；当A＞1，累加图像本身。由H h p ( u , v ) = 1 − H l p ( u , v ) H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v)H h p ​(u ,v )=1 −H l p ​(u ,v )，高频提升过滤可以定义为H h p ( u , v ) = ( A − 1 ) + H h p ( u , v ) H_{hp}(u,v)=(A-1)+H_{hp}(u,v)H h p ​(u ,v )=(A −1 )+H h p ​(u ,v )。
高频提升加强：H h p ( u , v ) = a + b H l p ( u , v ) H_{hp}(u,v)=a+bH_{lp}(u,v)H h p ​(u ,v )=a +b H l p ​(u ,v )，a ≥ 0 a\geq 0 a ≥0，b > a b> a b >a。用图像的高频成分进行增强，增加a的目的是使零频率不被滤波器过滤。当a=A-1,b=1时转化为高频提升过滤；当b>1，高频得到加强。
高频提升加强示例如下图所示：

数字图像处理 第四章 频率域滤波

; 六、总结

频率就是变化的快慢，傅里叶变换把图像从空域变换到频域。在频域中，高频分量表示图像灰度变换比较快的地方，比如物体的边缘。而物体内部比较平坦的区域，灰度基本没有变化或变化较小，对应的就是低平分量。
由于图像中的噪声主要集中在图像的高频部分，为了去除噪声，改善图像质量，可以采用低通滤波器来抑制高频部分，然后再进行傅里叶反变换获得滤波图像，可以达到图像平滑的目的，常用的频率域低通滤波器有理想低通滤波器、布特沃斯低通滤波器和高斯低通滤波器。这三种滤波器中理想滤波器平滑效果最好，但是高斯滤波器中没有振铃现象。通过对低通滤波器的反操作，可以得到高通滤波器。
通过本章的学习，巩固了傅里叶变换的知识，同时也开始尝试使用Python去实现这些算法，理解有些不熟练，还是得多实践。

​

Original: https://blog.csdn.net/qq_59026468/article/details/125690737
Author: LuoY、
Title: 数字图像处理 第四章 频率域滤波

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