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– 1.1、sigmoid函数
– 1.2、tanh函数
– 1.3、ReLU函数
– 1.4、softmax函数
激活函数在神经网络中的作用有很多，主要作用是给神经网络提供非线性建模能力。如果没有激活函数，那么再多层的神经网络也只能处理线性可分问题。常用的激活函数有 sigmoid tanh relu softmax
等。
1.1、sigmoid函数
sigmoid函数将输入变换为(0,1)上的输出。它将范围(-inf,inf)中的任意输入压缩到区间(0,1)中的某个值：
s i g m o i d ( x ) = 1 1 + e x p ( − x ) sigmoid(x)=\frac{1}{1+exp(-x)}s i g m o i d (x )=1 +e x p (−x )1
sigmoid函数是⼀个⾃然的选择，因为它是⼀个平滑的、可微的阈值单元近似。当我们想要将输出视作⼆元分类问题的概率时， sigmoid仍然被⼴泛⽤作输出单元上的激活函数（你可以将sigmoid视为softmax的特例）。然而， sigmoid在隐藏层中已经较少使⽤，它在⼤部分时候被更简单、更容易训练的ReLU所取代。下面为sigmoid函数的图像表示，当输入接近0时，sigmoid更接近线形变换。
import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inline
x=torch.arange(-8.0,8.0,0.1,requires_grad=True)
sigmoid=torch.nn.Sigmoid()
y=sigmoid(x)
d2l.plot(x.detach(),y.detach(),'x','sigmoid(x)',figsize=(5,2.5))
sigmoid函数的导数为下面的公示：
d d x s i g m o i d ( x ) = e x p ( − x ) ( 1 + e x p ( − x ) ) 2 = s i g m o i d ( x ) ( 1 − s i g m o i d ( x ) ) \frac{d}{dx}sigmoid(x)=\frac{exp(-x)}{(1+exp(-x))^2}=sigmoid(x)(1-sigmoid(x))d x d s i g m o i d (x )=(1 +e x p (−x ))2 e x p (−x )=s i g m o i d (x )(1 −s i g m o i d (x ))
sigmoid函数的导数图像如下所示。当输入值为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；而输入在任一方向上越远离0点时，导数越接近0。
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(),x.grad,'x','grad of sigmoid')
1.2、tanh函数
与sigmoid函数类似，tanh函数也能将其输入压缩转换到区间(-1,1)上，tanh函数的公式如下：
t a n h ( x ) = 1 − e x p ( − 2 x ) 1 + e x p ( − 2 x ) tanh(x)=\frac{1-exp(-2x)}{1+exp(-2x)}t a n h (x )=1 +e x p (−2 x )1 −e x p (−2 x )
tanh函数的图像如下所示，当输入在0附近时，tanh函数接近线形变换。函数的形状类似于sigmoid函数，不同的是tanh函数关于坐标系原点中心对称。
import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inline
x=torch.arange(-8.0,8.0,0.1,requires_grad=True)
tanh=torch.nn.Tanh()
y=tanh(x)
d2l.plot(x.detach(),y.detach(),'x','tanh(x)',figsize=(5,2.5))
tanh函数的导数是：
d d x t a n h ( x ) = 1 − t a n h 2 ( x ) \frac{d}{dx}tanh(x)=1-tanh^2(x)d x d t a n h (x )=1 −t a n h 2 (x )
tanh函数的导数如下，当输入接近0时，tanh函数的导数接近最大值1。与sigmoid函数图像中看到的类似，输入在任一方向上远离0点，导数越接近0。
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(),x.grad,'x','grad of tanh',figsize=(5,2.5))
1.3、ReLU函数
线性整流单元（ReLU），ReLU提供了一种非常简单的非线性变换。给定元素x x x，ReLU函数被定义为该元素与0的最大值。
R e L U ( x ) = m a x ( x , 0 ) ReLU(x)=max(x,0)R e L U (x )=m a x (x ,0 )
ReLU函数通过将相应的活性值设为0，仅保留正元素并丢弃所有负元素。如下为ReLU函数的曲线图。
import torch
from d2l import torch as d2l
%matplotlib inline
x=torch.arange(-8.0,8.0,0.1,requires_grad=True)
relu=torch.nn.ReLU()
y=relu(x)
d2l.plot(x.detach(),y.detach(),'x','relu',figsize=(5,2.5))
当输入为负时，reLU函数的导数为0，而当输入为正时，ReLU函数的导数为1。当输入值等于0时，ReLU函数不可导。如下为ReLU函数的导数：
f ′ ( x ) = { 1 , x≥0 0 , x
y.backward(torch.ones_like(x),retain_graph=True)
d2l.plot(x.detach(),x.grad,'x','grad of relu',figsize=(5,2.5))
ReLU函数的求导表现的很好：要么让参数消失，要么让参数通过。ReLU减轻了神经网络的梯度消失问题。ReLU函数有很多变体，如LeakyReLU，pReLU等。
1.4、softmax函数
在二分类任务时，经常使用sigmoid激活函数。而在处理多分类问题的时候，需要使用softmax函数。它的输出有两条规则。
- 每一项的区间范围的(0,1)
- 所有项相加的和为1.
假设有一个数组V，V i V_i V i 代表V中的第i个元素，那么这个元素的softmax值的计算公式为：
S i = e i ∑ j e j S_i=\frac{e^i}{\sum_j e^j}S i =∑j e j e i
下图为更为详细的计算过程：
如上图所示，输入的数组为[3,1,-3]。那么每项的计算过程为：
当输入为3时，计算公式为e 3 e 3 + e 1 + e − 3 ≈ 0.88 \frac{e^3}{e^3+e^1+e^{-3}}\approx 0.88 e 3 +e 1 +e −3 e 3 ≈0 .8 8
当输入为1时，计算公式为e 1 e 3 + e 1 + e − 3 ≈ 0.12 \frac{e^1}{e^3+e^1+e^{-3}}\approx 0.12 e 3 +e 1 +e −3 e 1 ≈0 .1 2
当输入为-3时，计算公式为e − 3 e 3 + e 1 + e − 3 ≈ 0 \frac{e^{-3}}{e^3+e^1+e^{-3}}\approx 0 e 3 +e 1 +e −3 e −3 ≈0
下面使用代码实现这一计算过程。
x=torch.Tensor([3.,1.,-3.])
softmax=torch.nn.Softmax(dim=0)
y=softmax(x)
print(y)
tensor([0.8789, 0.1189, 0.0022])
那么在搭建神经网络的时候，应该如何选择激活函数？
- 如果搭建的神经网络的层数不多的时候，选择sigmoid、tanh、relu都可以，如果搭建的网络层数较多的时候，选择不当不当会造成梯度消失的问题，此时一般不宜选择sigmoid、tanh激活函数，最好选择relu激活函数。
- 在二分类问题中，网络的最后一层适合使用sigmoid激活函数；而多分类任务中，网络的最后一层使用softmax激活函数。
Original: https://blog.csdn.net/tcn760/article/details/124010118
Author: CityD
Title: 激活函数(sigmoid、tanh、ReLU、softmax)
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