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一、离散选择模型
莎士比亚曾经说过：To be, or not to be, that is the question，这就是典型的离散选择模型。如果被解释变量时离散的，而非连续的，称为”离散选择模型”。例如，消费者在购买汽车的时候通常会比较几个不同的品牌，如福特、本田、大众等。如果将消费者选择福特汽车记为Y=1，选择本田汽车记为Y=2，选择大众汽车记为Y=3；那么在研究消费者选择何种汽车品牌的时候，由于因变量不是一个连续的变量（Y=1, 2, 3），传统的线性回归模型就有一定的局限。
其它的一些常见的离散选择行为的案例还包括：
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化妆品牌的选择：雅诗兰黛、兰蔻、欧莱雅…
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就餐地点的选择：餐厅甲、餐厅乙、餐厅丙…
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旅游风格的选择：自由游、跟团游、自助游…
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居住地点的选择：小区A、小区B、小区C…
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出行方式的选择：公交、地铁、打车、合乘、自驾、自行车…
二、Logit模型
在统计学里， 概率（Probability）和Odds都是用来描述某件事情发生的可能性的。Odds指的是 事件发生的概率与 事件不发生的概率 之比，可以将Odds称为几率或胜率。
O d d s = P 1 − P Odds=\frac{P}{1-P}O dd s =1 −P P
事件A的Odds 等于 事件A出现的次数 和 其它（非A）事件出现的次数 之比；相比之下， 事件A的概率 等于 事件A出现的次数 与 所有事件的次数 之比。
Odds的对数称之为Logit。
L o g i t = l o g ( O d d s ) Logit=log(Odds)L o g i t =l o g (O dd s )
从概率P到Odds再到Logit，这就是一个Logit变换。 Logit 模型可以理解成 Log-it（即it 的自然对数——这里的it指的就是Odds，Logit即the log of an odd）。概率P的取值范围是[0,1]，而Logit的取值范围是( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty)(−∞,+∞)。
概率作为因变量，不能直接套用线性回归模型：
y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β k x k + u y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+…+\beta_kx_k+u y =β0 +β1 x 1 +β2 x 2 +…+βk x k +u
因为线性回归模型的因变量y的范围是( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty)(−∞,+∞)，但概率的范围是[0,1]。
由于 Logit的范围是( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty)(−∞,+∞)，我们可以将Logit作为因变量，建立线性模型：
l o g i t = l o g ( O d d s ) = l n ( P 1 − P ) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β k x k logit=log(Odds)=ln(\frac{P}{1-P})=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+…+\beta_kx_k l o g i t =l o g (O dd s )=l n (1 −P P )=β0 +β1 x 1 +β2 x 2 +…+βk x k
方程两边同时exp，可得：
P 1 − P = e β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β k x k \frac{P}{1-P}=e^{\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+…+\beta_kx_k}1 −P P =e β0 +β1 x 1 +β2 x 2 +…+βk x k
进一步表示为：
P = 1 1 − e − ( β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β k x k ) P=\frac{1}{1-e^{-(\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+…+\beta_kx_k)}}P =1 −e −(β0 +β1 x 1 +β2 x 2 +…+βk x k )1
Odds Ratio（简称OR）指的是两个几率的比值，称为几率比。举个例子，研究人员怀疑 性别和 是否会游泳之间可能存在某种关系，于是按照”性别”和”是否会游泳”对样本进行进划分，结果如下：
会游泳不会游泳男性100200女性100300
则男性会游泳的概率为100/300，Odds为100/200，男性会游泳的概率为100/400，Odds为100/300，
则男性相对女性会游泳的Odds Ratio = 100/200/(100/300) =1.5
当OR>1时，分子上的Odds值较大——说明男性会游泳的几率（Odds）更高；若OR=1，则说明性别对是否会游泳没有影响。
; 三、Logit模型的python实现——采用statsmodels
（一）案例一
以Social_Network_Ads数据为例，演示逻辑回归的Python操作。数据文件一共400条数据，前面四列是用户ID(User ID)、性别(Gender)、年龄(Age)、大致薪水(EstimatedSalary)，第五列为是否购买(Purchased)，没购买是0，购买是1。数据源文件链接：https://pan.baidu.com/s/1HA6prrhdenNnI76G5QryMw 提取码：zul4。
首先导入相关库。
import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.formula.api as smf
import statsmodels.api as sm
from patsy import dmatrices
用pandas的 read_csv函数读取原始数据文件。
data = pd.read_csv(r'C:\Users\mi\Downloads\Social_Network_Ads.csv')
在Spyder的变量浏览器中，可查看data变量。
可查看data信息。
print(data.info())
结果为：
<class 'pandas.core.frame.dataframe'>
RangeIndex: 400 entries, 0 to 399
Data columns (total 5 columns):
# Column Non-Null Count Dtype
Intercept -12.7836 1.359 -9.405 0.000 -15.448 -10.120
Gender[T.Male] 0.3338 0.305 1.094 0.274 -0.264 0.932
Age 0.2370 0.026 8.984 0.000 0.185 0.289
EstimatedSalary 3.644e-05 5.47e-06 6.659 0.000 2.57e-05 4.72e-05
===================================================================================
上表中输出了Logit模型的相关拟合结果。结果包含两部分：上半部分给出了和模型整体相关的信息，包括因变量的名称（Dep. Variable: Purchased）、模型名称（Model: Logit）、拟合方法（Method: MLE 最大似然估计）等信息；下半部分则给出了和每一个系数相关的信息，包括系数的估计值（coef）、标准误（std err）、z统计量的值、显著水平（P>|z|）和95%置信区间。
根据上表可以得到本例中Logit模型的具体形式：
l o g i t = l o g ( O d d s ) = l n ( P 1 − P ) = − 12.7836 + 0.2370 A g e + 3.644 ∗ 1 0 − 5 E s t i m a t e d S a l a r y + 0.3338 G e n d e r [ T . M a l e ] logit=log(Odds)=ln(\frac{P}{1-P})=-12.7836+0.2370Age+3.64410^{-5}EstimatedSalary+ 0.3338Gender[T.Male]l o g i t =l o g (O dd s )=l n (1 −P P )=−12.7836 +0.2370 A g e +3.644 ∗1 0 −5 E s t ima t e d S a l a ry +0.3338 G e n d er [T .M a l e ]
Logit模型变量的系数是指： 自变量每变化一个单位，几率（Odds）的对数的变化值。在本例中，以变量 Age*的系数为例，其解读方式为：当其它变量保持不变时，申请者的Age年龄每增加一岁，其购买汽车的对数几率增加0.2370（绝对数），对数几率并不易直观理解。由于取对数约等于百分比的变化，故可理解为几率约增加23.70%（相对数）。
假设x i x_i x i 变化一单位，从x i x_i x i 变为x i + 1 x_i+1 x i +1，记几率odd的新值为o d d ∗ odd^o d d ∗，则可根据新几率o d d ∗ odd^o d d ∗与原几率odd的比率定义几率比。
O R = o d d s ∗ o d d s = e x p [ β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . β i ( x i + 1 ) + β k x k ] e x p ( β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . β i x i + β k x k ) = e x p ( β i ) OR=\frac{odds^*}{odds}=\frac{exp[\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+…\beta_i(x_i+1)+\beta_kx_k]}{exp(\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+…\beta_ix_i+\beta_kx_k)}=exp(\beta_i)OR =o dd s o dd s ∗=e x p (β0 +β1 x 1 +β2 x 2 +…βi x i +βk x k )e x p [β0 +β1 x 1 +β2 x 2 +…βi (x i +1 )+βk x k ]=e x p (βi )
or = np.exp(results.params)
print(or)
结果为：
Intercept 0.000003
Gender[T.Male] 1.396324
Age 1.267402
EstimatedSalary 1.000036
dtype: float64
在本例中，以变量 Age的OR为例，其解读方式为：当其它变量保持不变时，申请者的Age年龄每增加一岁，其购买汽车的几率变为原来的1.267倍，即几率增加了26.7%。
如果想计算每个变量的”边际效应”，可使用get_margeff()方法，并将所得结果用summary()方法展示。
什么是边际效应呢？即d p / d x dp/dx d p /d x，概率对自变量求导数。
get_margeff(at='overall', method='dydx', atexog=None, dummy=False, count=False)
其参数说明如下：
参数说明at’overall’, 平均边际效应,默认. ‘mean’, 样本均值处的边际效应. ‘median’, 样本中值处的边际效应.method’dydx’ – dy/dx， ‘eyex’ – d(lny)/d(lnx) ，’dyex’ – dy/d(lnx) ，’eydx’ – d(lny)/dx
计算平均边际效应：
margeff = results.get_margeff()
print(margeff.summary())
结果如下：
=====================================
Dep. Variable: Purchased
Method: dydx
At: overall
===================================================================================
dy/dx std err z P>|z| [0.025 0.975]
0 Class 2201 non-null object
1 Sex 2201 non-null object
2 Age 2201 non-null object
3 Survived 2201 non-null object
dtypes: object(4)
memory usage: 86.0+ KB
None
</class>
接下来进行Logit回归，有基于公式和基于数组两种方法。
方法一：基于公式
由于因变量survived是字符型的分类变量，如果不对survived做处理，则会报错。
错误代码：
import statsmodels.formula.api as smf
logit = smf.logit(formula='Survived ~ Class + Sex + Age', data = titanic)
results = logit.fit()
print(results.summary())
返回结果：
ValueError: endog has evaluated to an array with multiple columns that has shape (2201, 2). This occurs when the variable converted to endog is non-numeric (e.g., bool or str).
回归时，若涉及虚拟变量，虚拟因变量必须是数值型的”虚拟变量”，而虚拟自变量可以是字符型的”分类变量”，也可以数值型的”虚拟变量”。
本例中，自变量和因变量均是字符型的”分类变量”，因变量可以转变为数值型的”虚拟变量”，也可以不转变。
因此需要将代码修改为：
import statsmodels.formula.api as smf
titanic['Survived'] = (titanic['Survived'] == 'Yes').astype(int)
logit = smf.logit(formula='Survived ~ Class + Sex + Age', data = titanic)
results = logit.fit()
print(results.summary())
方法二：基于数组
调用Logit() 函数的基本格式为：
sm.Logit(endog,exog)
本例中，自变量和因变量均是字符型的”分类变量”，可使用dmatrices()函数将字符型的”分类变量”统一转变为数字型的”虚拟变量”。
y,X = dmatrices('Survived ~ Class + Sex + Age',data = titanic,return_type='dataframe')
查看y、X数据框。
因变量y：包含两个虚拟变量，即”Survived[No]”和”Survived[Yes]”，而我们仅需要其中一个。为此，保留”Survived[Yes]”。
y= y.iloc[:,1]
自变量X：已根据原来的分类变量生成了相应的虚拟变量，并去掉了多余的参照类别。比如，对于分类变量Sex，去掉了Sex[T.Female]，仅保留Sex[T.Male]。其中，’T.male’的前缀”T”表示”Treatment”。
完整代码为：
import statsmodels.api as sm
from patsy import dmatrices
y,X = dmatrices('Survived ~ Class + Sex + Age',data = titanic,return_type='dataframe')
y= y.iloc[:,1]
logit = sm.Logit(y,X)
results = logit.fit()
print(results.summary())
方法一和方法二的结果一致，为：
`
Logit Regression Results
==============================================================================
Dep. Variable: Survived No. Observations: 2201
Model: Logit Df Residuals: 2195
Method: MLE Df Model: 5
Date: Mon, 22 Aug 2022 Pseudo R-squ.: 0.2020
Time: 15:06:41 Log-Likelihood: -1105.0
converged: True LL-Null: -1384.7
Covariance Type: nonrobust LLR p-value: 1.195e-118
=================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
Original: https://blog.csdn.net/mfsdmlove/article/details/126468606
Author: Python for Finance
Title: 【Python计量】Logit模型
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