联邦学习入门笔记（四）— 基于差分隐私的FL(ii)

本文详细介绍了DP(差分隐私)+FL(联邦学习)的实现方法，笔者经过一年多的学习，基本上摸清了这个领域的一些套路，这里做一个总结。

距离上次发表联邦学习相关的文章已经是一年多前了，笔者接触这个领域差不多也有快两年的时间了，那时候笔者还是本科生，现在已经是快毕业的师兄了（逃），这两年对FL和DP的理解变化很大，应该说是对这个领域已经较为了解了，两年前写基于差分隐私的FL（i）这篇文章时，笔者对很多概念和算法描述的可能并不是特别到位，这里请大家以这篇文章的描述为准。

为了简单起见，这里只讲解Client端的过程，以添加Laplace噪音为例，假设Client端收到来自Server的初始参数为w s \mathbf{w}_s w s ​，学习率为η \eta η，本地数据集为D \mathcal{D}D，梯度裁剪的Clip为C C C，损失函数为l ( D , w s ) l(\mathcal{D}, w_s)l (D ,w s ​)， 当前这一轮的隐私预算为ϵ \epsilon ϵ，那么基于DP的Client端算法为：

• 接受来自Server的初始参数w s \mathbf{w}_s w s ​
• 通过前向传播和反向传播计算出梯度 g \mathbf{g}g 其中计算的过程应该为，首先计算出D \mathcal{D}D中每条数据D i \mathcal{D_i}D i ​的梯度g i \mathbf{g_i}g i ​，进行梯度裁剪： g i = g i m a x ( 1 , ∣ g i ∣ / C ) \mathbf{g_i} = \frac{\mathbf{g_i}}{max(1, |\mathbf{g_i}| / C)}g i ​=ma x (1 ,∣g i ​∣/C )g i ​​ 然后再求平均值，把这个过程写成公式就应该是：g = 1 ∣ D ∣ ∑ g i = 1 ∣ D ∣ ∑ a r g m i n w s l ( D i , w s ) \mathbf{g} = \frac{1}{|\mathcal{D}|} \sum \mathbf{g_i} = \frac{1}{|\mathcal{D}|} \sum arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_i}, \mathbf{w_s})g =∣D ∣1 ​∑g i ​=∣D ∣1 ​∑a r g mi n w s ​​l (D i ​,w s ​)
• 进行梯度下降：w c = w s − η g \mathbf{w_c} = \mathbf{w_s} – \eta \mathbf{g}w c ​=w s ​−ηg
• 对参数添加噪音：w c ~ = w c + L a p ( Δ f / ϵ ) \widetilde{\mathbf{w_c}} = \mathbf{w_c} + Lap(\Delta f / \epsilon)w c ​​=w c ​+L a p (Δf /ϵ)

上述算法可能有很多人有疑问，DP似乎不仅仅做了加噪的操作，还有很多额外的操作（比如Clip梯度），这里我将说明这些做法，以及为什么要这么做。

敏感度 Δ f \Delta f Δf 的计算

根据敏感度Δ f \Delta f Δf的定义，考虑两个临近数据集D , D ′ \mathcal{D}, \mathcal{D’}D ,D ′，两个数据集仅仅在数据D k \mathcal{D_k}D k ​处不同，其他数据都是相同的，由于我们是对参数添加噪音，那么此时我们需要计算参数在D , D ′ \mathcal{D}, \mathcal{D’}D ,D ′设定下的敏感度，假设D , D ′ \mathcal{D}, \mathcal{D’}D ,D ′设定下计算出来参数为w c , w c ′ \mathbf{w_c}, \mathbf{w_c’}w c ​,w c ′​，敏感度的计算如下：

Δ f = m a x D , D ′ ∣ w c − w c ′ ∣ = m a x D , D ′ ∣ ( w s − η g ) − ( w s − η g ′ ) ∣ = m a x D , D ′ η ∣ g − g ′ ∣ \Delta f = max_{\mathcal{D}, \mathcal{D’}} | \mathbf{w_c} – \mathbf{w_c’} | = max_{\mathcal{D}, \mathcal{D’}}| (\mathbf{w_s} – \eta \mathbf{g}) – (\mathbf{w_s} – \eta \mathbf{g’}) | = max_{\mathcal{D}, \mathcal{D’}} \eta | \mathbf{g} – \mathbf{g’} |Δf =ma x D ,D ′​∣w c ​−w c ′​∣=ma x D ,D ′​∣(w s ​−ηg )−(w s ​−ηg ′)∣=ma x D ,D ′​η∣g −g ′∣

(注意这里是一范数，因为是Laplace机制。)

然后我们只需要求解∣ g − g ′ ∣ | \mathbf{g} – \mathbf{g’} |∣g −g ′∣的值就可以了，根据算法的第二步，那么有：

∣ g − g ′ ∣ = 1 ∣ D ∣ ∣ ( ∑ g i − ∑ g i ′ ) ∣ = 1 ∣ D ∣ ∣ ∑ a r g m i n w s l ( D i , w s ) − ∑ a r g m i n w s l ( D i ′ , w s ) ∣ | \mathbf{g} – \mathbf{g’} | = \frac{1}{|\mathcal{D}|} | (\sum \mathbf{g_i} – \sum\mathbf{g_i’}) | = \frac{1}{|\mathcal{D}|} | \sum arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_i}, \mathbf{w_s}) – \sum arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_i’}, \mathbf{w_s}) |∣g −g ′∣=∣D ∣1 ​∣(∑g i ​−∑g i ′​)∣=∣D ∣1 ​∣∑a r g mi n w s ​​l (D i ​,w s ​)−∑a r g mi n w s ​​l (D i ′​,w s ​)∣

根据我们前面的假设，两个临近数据集D , D ′ \mathcal{D}, \mathcal{D’}D ,D ′，两个数据集仅仅在数据D k \mathcal{D_k}D k ​处不同，那么除了D k \mathcal{D_k}D k ​处所计算出来的梯度，其他的梯度应该都是相同的，所以可以消去，那么有：

∣ g − g ′ ∣ = 1 ∣ D ∣ ∣ a r g m i n w s l ( D k , w s ) − a r g m i n w s l ( D k ′ , w s ) ∣ = 1 ∣ D ∣ ∣ ( g k − g k ′ ) ∣ | \mathbf{g} – \mathbf{g’} | = \frac{1}{|\mathcal{D}|} | arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_k}, \mathbf{w_s}) – arg \ min_{\mathbf{w_s}} l(\mathcal{D_k’}, \mathbf{w_s})| = \frac{1}{|\mathcal{D}|} | (\mathbf{g_k} – \mathbf{g_k’}) |∣g −g ′∣=∣D ∣1 ​∣a r g mi n w s ​​l (D k ​,w s ​)−a r g mi n w s ​​l (D k ′​,w s ​)∣=∣D ∣1 ​∣(g k ​−g k ′​)∣

由于每一个梯度都进行过梯度裁剪，所谓梯度裁剪，其实就是把梯度的一范数限制在一定的范围内，此时：

∣ g − g ′ ∣ < = ∣ g k ∣ + ∣ g k ′ ∣ ∣ D ∣ < = 2 C ∣ D ∣ | \mathbf{g} – \mathbf{g’} |

那么敏感度就为：

Δ f = η 2 C D \Delta f = \eta \frac{2C}{\mathcal{D}}Δf =ηD 2 C ​

为什么要Clip？

从上一部分可以看出，如果不Clip梯度的话，g \mathbf{g}g就是一个无法被bound住的值，

也就是他的一范数的范围无法被确定，这样的话就无法计算敏感度，无法计算敏感度就不能添加DP噪音，敏感度对于差分隐私来说是一个非常重要的参数。

关于Clip的值，有很多种不同的算法，也有很多不同的加法，这里只是展示了最常见的一种，不同的加法可能会造成Clip的值不同， 如何降低敏感度是目前这个DP领域研究的一个重点。

当前这一轮的隐私预算VS全局的隐私预算

很多FL+DP的文章将当前这一轮的隐私预算与全局的隐私预算混淆，这里明确一下。

算法中提到的当前这一轮的隐私预算是指暴露Client当前信息所消耗的隐私预算，

根据差分隐私的Simple Composition，假设Client暴漏T次数据，那么这T次数据所消耗的隐私预算为T ϵ T \epsilon T ϵ

大多数FL+DP的论文中所提到的隐私预算都是指全局的隐私预算，也就是说暴露T次数据所消耗的隐私预算，按照这些论文的设定，Client端每一轮消耗的隐私预算应该等于ϵ / T \epsilon / T ϵ/T，也就是总的隐私预算除以暴露次数。

假设你全局隐私预算为ϵ \epsilon ϵ，你当然可以选择在前几次暴露使用较大的隐私预算，后几次使用较小的隐私预算，只要你能保证总的预算为ϵ \epsilon ϵ就可以，这一部分也有一些文章在进行研究，比如Adaptive DP[2]。

也有一些文章认为Simple Composition不够严谨，他没有考虑噪音的分布，还有更加严谨的 Composition以及专门针对深度学习记录隐私预算的算法，比如Moment Account，这些就不是本文研究的重点了，可以参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/264779199

关于本地迭代轮数

在传统的FL中，本地可以迭代多轮，而在基于FL+DP的设定下，本地迭代一轮是最好的选择。

在本地迭代多轮的情况下，无法保证每一个迭代轮数开始的时候w s \mathbf{w_s}w s ​是相同的，这时无法消去除了D k \mathcal{D_k}D k ​之外的其他数据计算出来的梯度，此时如果单纯对梯度进行Clip，那么得到的敏感度将是多轮迭代出来的∣ D ∣ |\mathcal{D}|∣D ∣倍，考虑到数据集的大小一般都很大，所以敏感度将会扩大几十倍甚至上百倍，所以迭代一轮是最好的选择。

以上是笔者写的使用拉普拉斯机制添加差分隐私噪音的基本过程，当然这个领域还有其他机制，比如高斯机制等，其实过程感觉都比较类似，计算Sensitivity，添加噪音等等[1,3]，只不过可能加噪音的操作或者位置不同（比如有些是对梯度加噪），还有一些文章专注于FL+DP的收敛性的分析，这一块也是比较难懂的一块，笔者还在学习过程中。

笔者小硕一枚，虽然有过一些研究经验，但是本人对于DP的理解不敢说非常精通，很多时候也是摸着石头过河，笔者觉得目前网上关于DP的中文资料良莠不齐，鱼龙混杂，入门起来非常困难，笔者也是花了很长时间才搞清楚这个领域，可能有些地方写的不太准确，欢迎大家多提意见，互相交流！

[1]Wei, Kang, et al. “Federated learning with differential privacy: Algorithms and performance analysis.” IEEE Transactions on Information Forensics and Security 15 (2020): 3454-3469.

[2]Wu, Nan, et al. “The value of collaboration in convex machine learning with differential privacy.” 2020 IEEE Symposium on Security and Privacy (SP). IEEE, 2020.

[3]Abadi, Martin, et al. “Deep learning with differential privacy.” Proceedings of the 2016 ACM SIGSAC conference on computer and communications security. 2016.

[4]Lee, Jaewoo, and Daniel Kifer. “Concentrated differentially private gradient descent with adaptive per-iteration privacy budget.” Proceedings of the 24th ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery & Data Mining. 2018.

[5]https://zhuanlan.zhihu.com/p/264779199

[6]Truex, Stacey, et al. “LDP-Fed: Federated learning with local differential privacy.” Proceedings of the Third ACM International Workshop on Edge Systems, Analytics and Networking. 2020.

Original: https://blog.csdn.net/wenzhu2333/article/details/124556920
Author: wenzhu2333
Title: 联邦学习入门笔记（四）— 基于差分隐私的FL(ii)