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正规方程法（最小二乘）与 梯度下降法都是为了求解线性回归的最优参数，但是不同的是正规方程法只需要一步就可以得到代价函数最优点，而梯度下降则是迭代下降，看起来似乎正规方程法要好得多，但实际梯度下降使用场景更多，下面我们介绍这两种算法以及优缺点
; 一、梯度下降
1.1 一个参数
- 我们从最简单的线性方程解释，后面推广到的多个参数的方程
典型的房价预测问题
我们假设其数据模型为线性回归模型，方程如下
h θ ( x ) h_\theta(x)h θ(x ) = θ 1 ∗ x \theta_1x θ1 ∗x
我们希望能求出θ 1 \theta_1 θ1 参数，让方程h θ ( x ) h_\theta(x)h θ(x ) 更加拟合数据，梯度下降的方法就是通过求 代价函数*最小得到最优参数或者局部最优参数的，
代价函数
代价函数就是实际数据与数学模型（这里是一元一次方程）所预测的差值的平方之和的平均值，（其中y y y 为真实预测值）
- J θ ( x ) J_\theta(x)J θ(x ) =∑ x = 1 n （ h θ ( x ) − y ） 2 n \sum_{x=1}^n \frac{（h_\theta(x) – y）^2}{ n }∑x =1 n n （h θ(x )−y ）2 （代价函数方程J θ ( x ) J_\theta(x)J θ(x ) ）
如：
蓝线的长度就是 代价函数，可以看到 代价函数越大拟合效果越差，代价函数越小，拟合效果越好。
其中关于 所求方程h θ ( x ) h_\theta(x)h θ(x )（左图）和 θ 1 \theta_1 θ1 的的 代价函数( θ 1 ) (\theta_1)(θ1 )(右图）如下图：
可以看到当方程越拟合数据， 代价函数越小，当 代价函数J ( θ 1 ) J(\theta_1)J (θ1 )值为0时，回归方程h θ ( x ) h_\theta(x)h θ(x )完全拟合数据，此时我们要做的就是让代价函数变小。
（后面所讲的正规方程解法就是直接令代价函数为0，求解θ \theta θ参数的）
; 1.2梯度下降核心方程
迭代求解方程
θ 1 \theta_1 θ1 = θ 1 \theta_1 θ1 – α ∗ δ J ( θ 1 ) δ θ 1 \alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}α∗δθ1 δJ (θ1 )
其中α \alpha α是 学习率， δ J ( θ 0 ) δ θ 0 \frac{δJ(\theta_0)}{δ\theta_0}δθ0 δJ (θ0 ) 是对 代价函数J ( θ 1 ) J(\theta_1)J (θ1 )求关于θ 1 \theta_1 θ1 的偏导数，由于只有一个参数（一阶），所以这里的方程 δ J ( θ 1 ) δ θ 1 \frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}δθ1 δJ (θ1 ) 也可以表示为 d J ( θ 1 ) d θ 1 \frac{dJ(\theta_1)}{d\theta_1}d θ1 dJ (θ1 ) (即求导数）。
原理讲解
- 当θ 1 \theta_1 θ1 所在的代价函数区间是单调递增的，如下图（ 红线标记），
此时d J ( θ 1 ) d θ 1 \frac{dJ(\theta_1)}{d\theta_1}d θ1 dJ (θ1 ) （即h θ ( x ) h_\theta(x)h θ(x )的斜率）大于0，则θ 1 \theta_1 θ1 =θ 1 \theta_1 θ1 -α ∗ δ J ( θ 1 ) δ θ 1 \alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}α∗δθ1 δJ (θ1 ) 为θ 1 \theta_1 θ1 减去一个正数，θ 1 \theta_1 θ1 往左边退（向代价函数最小值靠近）， - 当θ 1 \theta_1 θ1 所在的代价函数区间是单调递减时的如图（ 蓝线标记），此时θ 1 \theta_1 θ1 =θ 1 \theta_1 θ1 -α ∗ δ J ( θ 1 ) δ θ 1 \alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}α∗δθ1 δJ (θ1 ) 为θ 1 \theta_1 θ1 减去一个负数，θ 1 \theta_1 θ1 往右边退（向代价函数最小值靠近）
1.3学习率 α \alpha α
有时我们的迭代方程下降时，可能很缓慢，
需要走很多步（化很久时间）才能到达局部最优或者全局最优 如下图：
此时学习率α \alpha α的作用就是调整步子长度，让其更快的下降到局部最优或者全局最优
注意：
α \alpha α需要根据数据调节，
- 设置大了，走一步太大了跳到对面那一头了，与想要的结果违背，如图
- 设置小了，步子又太小，所以设置α \alpha α也是一个细活
; 1.4两个参数
两个参数 θ 1 \theta_1 θ1 ,θ 0 \theta_0 θ0 ,方程为
h θ ( x ) h_\theta(x)h θ(x ) = θ 0 + \theta_0 +θ0 + θ 1 ∗ x \theta_1*x θ1 ∗x
迭代求解方程 (注意：参数是同步更新的，你的腿只能走一步）
- θ 0 \theta_0 θ0 =θ 0 \theta_0 θ0 -α ∗ δ J ( θ 0 ) δ θ 0 \alpha*\frac{δJ(\theta_0)}{δ\theta_0}α∗δθ0 δJ (θ0 )
- θ 1 \theta_1 θ1 =θ 1 \theta_1 θ1 -α ∗ δ J ( θ 1 ) δ θ 1 \alpha*\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}α∗δθ1 δJ (θ1 )
此时的代价函数为J ( θ 0 , θ 1 ) J(\theta_0,\theta_1)J (θ0 ,θ1 )，如下图（是一个碗状，与一个参数的图像一样都是凹函数）
为了更好理解，我们可以绘制出其的等高线
则目标所求的既是 等高线中心 或 碗底，即让代价函数最小
1.5多个参数
在问题案例中，往往有个参数 θ i ( i = 1 , 2 , 3… ) \theta_i(i=1,2,3…)θi (i =1 ,2 ,3…)
此时的代价方程则时关于多个θ i \theta_i θi 参数，如图
迭代求解方程 (注意：参数是同步更新的，你的腿只能走一步）
θ 0 \theta_0 θ0 = θ 0 \theta_0 θ0 – α ∗ δ J ( θ 0 ) δ θ 0 \alpha\frac{δJ(\theta_0)}{δ\theta_0}α∗δθ0 δJ (θ0 )
θ 1 \theta_1 θ1 = θ 1 \theta_1 θ1 – α ∗ δ J ( θ 1 ) δ θ 1 \alpha\frac{δJ(\theta_1)}{δ\theta_1}α∗δθ1 δJ (θ1 )
θ 2 \theta_2 θ2 = θ 2 \theta_2 θ2 – α ∗ δ J ( θ 2 ) δ θ 2 \alpha*\frac{δJ(\theta_2)}{δ\theta_2}α∗δθ2 δJ (θ2 )
…
θ n \theta_n θn = θ n \theta_n θn – α ∗ δ J ( θ n ) δ θ n \alpha*\frac{δJ(\theta_n)}{δ\theta_n}α∗δθn δJ (θn )
从中也可以看到在梯度下降迭代中，有两个最优结果（其他案例可能有许多），
整个迭代过程可以形象的理解为 你现在在山顶，要找一条最快的路下山，山底就是你的目标地点，也就是 代价函数最小
; 1.6数据标准化
梯度下降在量化纲位不同，如果数
据范围分别是是【0~1000，0 ~5】或者【-0.00004 ~ 0.00002，10 ~ 30】, 那么在使用梯度下降算法时，他们的等高线是一个又窄又高的等高线，如下图：
在梯度下降算法中，参数更新就会如上图左右震荡，收敛缓慢，我们就需要对特征进行 特征缩放—数据标准化
详解见文章
【机器学习】梯度下降之数据标准化
二、正规解法
对正规解法来说，一般例子是对代价函数J ( θ ) J(θ)J (θ)求偏导数，令其为 0 便可以直接算出 最优参数θ θθ,但大多数情况下θ θθ是一个多维向量(即有多个参数 θ i ( i = 1 , 2 , 3… ) \theta_i(i=1,2,3…)θi (i =1 ,2 ,3…)），此时代价函数f ( θ ) f(θ)f (θ)是关于θ θθ多维向量的函数，那么要求从θ 0 θ_0 θ0 到 θ n θ_n θn 的值，就分别对对应的θ i θ_i θi (i = 1,2,3,4…)求偏导数，并令其为0求其最优参数.
假设有M个数据，每个数据N个特征
方程如下：
θ = ( x T ∗ x ) − 1 ∗ x T ∗ y θ = (x^T * x )^{-1} * x^T * y θ=(x T ∗x )−1 ∗x T ∗y
这里的x x x为矩阵，该矩阵每一行为x i ( i = 1 , 2 , 3… ) x_i(i=1,2,3…)x i (i =1 ,2 ,3…)（x i x_i x i 为列向量，维度为特征N）的向量转置组成，即任意一行的每一列为x i x_i x i 其特征
x x x矩阵同下图A矩阵：
这里的 a 11 a_{11}a 11 代表第一个数据x 1 x_1 x 1 的第一个特征值，依次往下，化简即为
第一行即为x 1 x_1 x 1 N维向量的的转置
方程原理讲解视频：
由于正规方程是直接求解，所以不需要迭代熟练，不需要”下山”,所以不需要对其进行特征缩放（如梯度下降需要数据标准化）
; 2，1 使用场景和优缺点
假设我们有M个数据集，N个特征
*
梯度下降缺点： 首先需要先提前设定好学习率，并调试，这无疑是额外的工作 需要尝试不同的学习率 ，
梯度下降缺点：需要多次迭代下降，计算可能会更慢
x
*
正规解法缺点:在对于大量的数据来说，梯度学习也可以很好的运行结果，而正规方程求解中 ( x T ∗ x ) − 1 (x^T * x )^{-1}(x T ∗x )−1 这一步中，其维度即为x的特征维度，由于计算机在计算矩阵的逆 的时间复杂度时O （ n 3 ） O（n^3）O （n 3 ） ,在特征维度非常大时，运行时间很久，
综上所述：
可以看到他们二者适用场景 不同于数据的大小， 那我们怎么定义数据”大”还是”小”呢, 吴恩达老师给出了一个比较好的区间：
N > 10000 => 梯度下降
N < 10000 => 正规解法
但是不是绝对的判断，还需要根据情况而定
2.2 正规方程（不可逆性）* 选读
- 方阵中的两个维度之间存在线性变换关系，导致方阵不满秩
- n（特征数量）相较于m（样本数量）过大，导致其产生的齐次方程组Ax=0不只有零解
这些不可逆的矩阵我们称为 奇异矩阵，逆矩阵在不存在时，我们所求的逆矩阵为伪逆
实际上我们案例对应的情况有
- 如，房价预测多了一些特征值，而这个特征值和所有特征值有线性相关，即出现上述第一种情况
- 在特征n >= 数据集数量m的情况下，例如 10 个数据 ，每个数据有 100 个特征，那么我们所要求的
θ就是一个101维向量，10个样本太少了，求得的结果偏离真实值，对应上述情况二，这个时候我们可以减去一些特征，或者使用正则化方法（）
其实这种不可逆的情况非常少见，所以在平时案例不用特别担心
Original: https://blog.csdn.net/weixin_66526635/article/details/125201143
Author: 计算机魔术师
Title: 【机器学习】浅谈正规方程法&梯度下降
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