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02、从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)
全书目录
第一章 信号与系统信号与系统_第1章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析 信号与系统_第2章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 连续系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
附录
第1章知识点
01、比较连续和离散信号的周期性判断
注意对于离散信号来说，想要序列是周期信号， 每个三角函数的周期都不能为无理数，即2π/ β不能为无理数。
02、信号的时间变换
通常情况下，是 先平移，再压缩，最后反转
03、冲激函数的性质
04、判断描述LTI系统的是线性常系数差分方程
判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。
具体的可以见本专栏的” 信号与系统_第1章 信号与系统“的” 1.6.2 系统的分类与性质“
一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统称为线性系统，否则称为非线性系统。
判别方法：①各阶导数是一次方；②没有相乘项；③没有常数项
05、由微分方程画框图
面对较为复杂的微分方程，我们可以引入中间变量
06、综合举例
【注意】线性系统的一些性质使用，在求导和移项时需要先把ε(t)补充完整
第2章知识点
01、微分方程的经典解：完全解 = 齐次解 + 特解
齐次解
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
特解
根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
求全解的步骤：
1. 特征方程和特征根求齐次解（含参数）
2. 根据输入形式得到含参数的特解，代入原方程得到完整的特解形式
3. 根据全解（含参数）和初始状态求出特解的参数，得到完整的全解
02、从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)
特殊方法
若输入是阶跃函数，最高阶只有两阶，且将输入代入后输出最高阶为冲激函数时，求解方法（ 定量判断、定性计算）为：
1. 将输入函数代入方程，判断输入所对应的输出，可以得到含冲激函数的在t=0处跃变，不含冲激函数的在t=0处连续
2. 对方程两边积分，得到其他的在0+时的值
基本方法（系数分配法）
- 将输入函数f(t)代入方程，根据系数匹配法和输出来设置含系数的输出函数y”(t)、y'(t)、y(t)
- 所有的输出函数代入方程进行整理比较，得到系数，从而得到最完整的输出函数
- 将输出函数进行积分，得到0+、0-之间的差值
当微分方程右端含有 冲激函数时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生 跃变，否则不会跃变。
03、零输入响应与零状态响应
定义
零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的相应，用y zi (t)表示。
零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入状态f(t)引起的响应，用y zs (t)表示。
求法
零输入相应：
1. 根据公式可以知晓初始状态
2. 根据特征方程和微分方程求出带系数的齐次解
3. 将初始状态代入，求得完整的零输入相应，此时的t的范围是t≥0。
零状态响应：
1. 求出t=0+时的值（t=0-时激励未接入，均为0）
2. 根据t>0列出方程，并求出此时的齐次解和特解，从而求得零状态响应，此时的t的范围是t≥0。
【 注意】
当输入的阶数比输出的阶数高时，可以借助 简单系统来进行计算，且结果具有高阶，具体例题可以见书本P48的例2.1-7；
同时，零状态响应也可以通过 卷积来进行求解。
全响应：
将零输入相应与零状态响应相加，或将齐次解与特解相加
【 注意】
当给出的的是 0+时的值，我们先求 零状态响应，并得到零状态时的0+时的值，再求零输入响应。
求响应时也可以使用 F(jω)、F(s)以及F(z)来求得。
【 区分】通过齐次解和特解、零状态和零输入来求全解的过程
齐次解和特解的方法步骤与求零状态响应的步骤是一样的，只是初始状态会不一样；
对于含有初始状态的来说，可能就齐次解和特解更加方便简单；
而对于不含有初始状态的来说，可以直接使用零状态来求解。
04、冲激响应
定义
一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激函数δ(t)所引起的响应为单位冲激响应，简称 冲激响应，记为h(t)，h(t)=T[{0},δ(t)]。
求解方法
冲激响应（采用 线性时不变性质法）
1. 将输入f(t)冲激函数（即函数右边）代入方程，得到此时的解
2. 根据函数右边的方程，求出正确的解
【注意】
若输入f(t)代入后在等式右侧 含有冲激偶或者更高阶冲激函数，那么借助简单系统来进行计算；
若给出系统f(t)和子系统的冲激响应求复合系统的冲激响应时，设 f(t)=δ(t)，再运用卷积进行计算
例题
05、阶跃响应
定义
一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数ε(t)所引起的响应为单位阶跃响应，简称 阶跃响应，记为g(t)，g(t)=T[{0},ε(t)]。
阶跃响应是冲激响应的积分，冲激响应是阶跃响应的导数。
求解方法
- 将输入f(t)阶跃函数ε(t)（即函数右边）代入方程，得到此时的解
- 根据函数右边的方程，求出正确的解
06、卷积积分
定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分
为 f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为f(t)= f1(t)*f2(t)。注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。
定义法求卷积
【注意】计算时主要是要注意 积分区间的上限与下限的选择
图解法求卷积
换元→反转→平移→相乘后积分，即
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ)
（2）反转：由f2(τ)反转→ f2(–τ)
（3）平移：由 f2(–τ)右移t → f2(t-τ)
（4）乘积： f1(τ) f2(t-τ)
（5）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
注意：t为参变量， 确定积分的上下限是关键。
举例
07、卷积积分的性质
卷积的代数运算（交换律、分配率和结合律）
函数与冲激和阶跃函数的卷积
卷积的微分与积分
第3章知识点
01、差分方程的经典解
全解=齐次解+特解
齐次解
求解方法：
1. 列出特征方程和特征根，求出带参数的齐次解形式
2. 根据已知条件，求出参数，得到齐次解
根据特征根，齐次解的两种情况
特解
求解方法
1. 根据激励得到特解形式
2. 将特解代入方程得到参数
根据激励，特解的几种情况
全解
求解方法：
1. 根据特征方程和特征根，求出带参数的齐次解形式
2. 根据激励得到含参数的特解
3. 将特解代入方程得到参数
4. 根据已知条件和方程，求出齐次解参数，得到全解
02、零输入响应
定义
系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的相应，称为零输入相应，用y zi (k)表示。
求解方法
- 由递推公式得到初始值yzi(0), yzi(1)
- 根据特征方程和特征根得到含参数的齐次解形式
- 将初始值代入并解得参数，得到完整的解
03、零状态响应
定义
当系统的初始状态为零，仅由激励f(k)所产生的相应，称为零状态相应，用y zs (k)表示。
求解方法
- 由递推公式得到初始值yzi(0), yzi(1) 【 注意】这里的递推公式与求零输入相应时的递推公式不一样
- 根据特征方程和特征根得到含参数的齐次解，根据方程右侧得到特解形式
- 将初始值代入并解得参数，得到完整的解
04、单位序列响应和阶跃响应
定义
单位序列定义为：
单位阶跃序列定义为：
δ(k) =ε(k) –ε(k –1) = ▽ε(k)
当LTI离散系统的激励为单位序列δ(k)时，系统的零状态响应称为 单位序列响应，用h(k)表示，即h(k)=T[{0},δ(k)]。
当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列ε(k)时，系统的零状态响应称为 单位阶跃响应，用g(k)表示，即g(k)=T[{0},ε(k)]。
求解方法
- 由递推公式得到初始值
- 根据特征方程和特征根得到含参数的齐次解，若求阶跃响应时也存在特解
- 将初始值代入并解得参数，得到完整的解
常用求和公式
常用于 由序列响应求和得阶跃响应和 卷积和的求解
05、卷积和
定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和
为f1(k)与f2(k)的 卷积和，简称 卷积，记为f(k)= f1(k)f2(k)注意*：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k为参变量。结果仍为k的函数。
任意序列作用下的零状态响应
ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
卷积的图解法
（1）换元： k换为 i→得 f1(i)， f2(i)
（2）反转: f2(i)反转→ f2(–i)
（3）平移： f2(–i) → f2(k – i)
（4）乘积： f1(i) f2(k – i)
（5）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。
注意：k 为参变量。
不进位乘法求卷积（更简单）
f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。
例题
卷积和的性质
举例
第4章知识点
01、正交矢量集
正交矢量集
定义：指由两两正交的矢量组成的矢量集合；若n个函数φ 1(t)， φ 2(t)，…， φ n(t)构成一个函数集，这些函数在区间(t1，t2)内满足
，则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
完备正交函数集
定义：如果在正交函数集{φ1(t)，φ 2(t)，…，φ n(t)}之外，不存在函数φ(t)(≠0）满足
，则称此函数集为完备正交函数集。
例子：
三角函数集 {1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}
虚指数函数集{e^(jnΩt)，n=0，±1，±2，…}
是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。
02、傅里叶级数
傅里叶级数的三角函数形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率ω=2π/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数—— 称为f(t)的傅里叶级数
系数an , bn称为傅里叶系数
可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。
傅里叶级数的指数形式
傅里叶级数的两种形式的对比
03、奇、偶函数的傅里叶级数
1 .f(t)为偶函数——对称纵坐标
bn =0，展开为余弦级数。
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
an =0，展开为正弦级数。
04、周期信号的频谱
周期信号的频谱具有离散型、谐波性和收敛性。
实信号有双边谱，复信号的频谱无单双边之分。
实信号的双边谱具有对称性，双边幅度谱偶对称，双边相位谱奇对称。
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数），
（1）包络线形状：抽样函数
（2）最大值在n=0时，值为τ/T
（3）离散谱（谐波性）
（4）第一个零点坐标：2π/τ
（5）Fn为复函数，Fn>0，相位为0；Fn
Original: https://blog.csdn.net/qq_59467552/article/details/125023759
Author: 追梦妆
Title: 信号与系统_微总结
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