这里与最短路密切相关
可以使用spfa，利用spfa的原理（cnt数组），如果发现一个点是通过了超过n-1条边更新而来，那么就说明存在负环
给定一张 L 个点、 P 条边的有向图，每个点都有一个权值 f[i]，每条边都有一个权值 t[i]。
求图中的一个环，使”环上各点的权值之和”除以”环上各边的权值之和”最大。
输出这个最大值。 注意 ：数据保证至少存在一个环。
输入格式
第一行包含两个整数 L 和 P。
接下来 L 行每行一个整数，表示 f[i]。
再接下来 P 行，每行三个整数 a， b， t[i]，表示点 a 和 b 之间存在一条边，边的权值为 t[i]。
输出格式
输出一个数表示结果，保留两位小数。
数据范围
2≤ L≤ 1000,
2≤ P≤ 5000,
1≤ f[i] ,t [i ]≤ 1000
输入样例：
5 7
30
10
10
5
10
1 2 3
2 3 2
3 4 5
3 5 2
4 5 5
5 1 3
5 2 2
输出样例：
6.00
注意：由于是分数的最优化问题，所以我想到了0/1规划。
#include
using namespace std;
#define N 1005
#define M 5005
int head[N], tot, ver[M], nxt[M], from[M], edge[M];
int head2[N], tot2, ver2[M], nxt2[M];
double edge2[M];
int n, m;
int a[N];//存放点的权值
const double eps = 1e-5;
int cnt[N];//通过这一个数组配合spfa进行求有没有负环
bool v[N];
queueq;
double d[N];//注意取值
inline void add(int x, int y, int z)
{
ver[++tot] = y;
edge[tot] = z;
from[tot] = x;
nxt[tot] = head[x];
head[x] = tot;
}
inline void add2(int x, int y, double z)
{
ver2[++tot2] = y;
edge2[tot2] = z;
nxt2[tot2] = head2[x];;
head2[x] = tot2;
}
bool judge(double mid)
{
for(int i = 1; i d[x] + z)
{
d[y] = d[x] + z;
cnt[y] = cnt[x] + 1;
if(cnt[y] >= n) return true;
if(!v[y])
{
v[y] = true;
q.push(y);
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
//tot = 1;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i eps)
{
double mid = (l + r) / 2;
if(judge(mid)) l = mid;
else r = mid;
}
printf("%.2lf", l);
return 0;
}
差分约束系统
由于差分的形式与图论中长得比较像，所以进行等价为最短路（bellman-ford中的三角不等式）
给定 n 个区间 [a i, bi ] 和 n 个整数 ci。
你需要构造一个整数集合 Z，使得 ∀i ∈[1, n]， Z 中满足 ai ≤x ≤b i 的整数 x 不少于 ci 个。
求这样的整数集合 Z 最少包含多少个数。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含三个整数 ai ,b i, ci。
输出格式
输出一个整数表示结果。
数据范围
1≤ n≤ 50000,
0≤ ai ,b i≤ 50000,
1≤ ci ≤b i− ai +1
输入样例：
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1
输出样例：
6
#include
using namespace std;
#define N 50005
int s[N];
int head[N], tot, ver[3*N], nxt[3*N], edge[3*N];
int d[N];
bool v[N];
queueq;
inline int num(int x)
{
return x == -1?50001:x;
}
inline void add(int x, int y, int z)
{
ver[++tot] = y;
edge[tot] = z;
nxt[tot] = head[num(x)];
head[num(x)] = tot;
}
void spfa()
{
memset(d, 0xcf, sizeof(d));//尽量往小，让约束之后的值尽可能小
d[num(-1)] = 0;
v[num(-1)] = true;
q.push(-1);
while(q.size())
{
int x = q.front();
q.pop();
v[num(x)] = false;
for(int i = head[num(x)]; i; i = nxt[i])
{
int y = ver[i], z = edge[i];
if(d[num(y)] < d[num(x)]+z)
{
d[num(y)] = d[num(x)]+z;
if(!v[num(y)])
{
v[num(y)] = true;
q.push(y);
}
}
}
}
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i
Original: https://www.cnblogs.com/xjsc01/p/16606973.html
Author: 心坚石穿
Title: 算法竞赛进阶指南 0x65 负环与差分约数
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