对于边(u,v)，用dist（u）和（u，v）的和尝试更新dist（v）:
dist(v) = min(dist(v) , dist(u)+l(u,v)
注：dist（i）为源点（起点）到i点的距离，l（u，v）为u->v的边权。
Bellman-Ford的基本操作是进行多次迭代，每一轮迭代对图上所有边进行松弛操作，直到再 一次迭代中没有点的dist发生变化即可停止迭代。为什么呢？不妨假设已经没有dist发生变化了，再进行一轮迭代的话，很显然，之后的迭代没有产生任何作用，dist数组依旧没有改变，反倒增大了时间复杂度，这不是多此一举么。
初始：（S为源点）
初始设置为inf无穷大，表示还没有最短路
S A B C D E 0 inf inf inf inf inf
第一轮迭代：
对S点连出的边（s->e，s->a）
A B C D E 0
inf inf inf
对A连出的边（a->c）
B C D E 0 7 inf
inf 5
对B连出的边（b->a)
S A
C D E 0 7 inf 9 inf 5
dist(B)还没有找到最短路，更新其他点的最短路径无意义，故对B点的出边不进行松弛
对C连出的边（c->b）
S A B
D E 0 7
9 inf 5
对D连出的边（d->c,d->a）
S A B C
E 0 7 7 9 inf 5
dist(D)还没有找到最短路，更新其他点的最短路径无意义，故对D点的出边不进行松弛
对E连出的边（e->d）
S A B C D
0 7 7 9
已经对所有的边进行了松弛操作，第一轮迭代结束
第二轮迭代
对S点连出的边（s->e，s->a）
A B C D E 0 7 7 9 6 5
无需更新
对A连出的边（a->c）
B C D E 0 7 7 9 6 5
无需更新
对B连出的边（b->a)
S A
C D E 0 7 7 9 6 5
无需更新
对C连出的边（c->b）
S A B
D E 0 7 7 9 6 5
无需更新
对D连出的边（d->c,d->a）
S A B C
E 0
6 5
对E连出的边（e->d）
S A B C D
0 2 7 5 6 5
已经对所有的边进行了松弛操作，第二轮迭代结束
第三轮迭代
与第一第二轮同理（此处直接给出迭代结束的结果）
S A B C D E 0
6 5
第四轮迭代
无任何更新，迭代结束，更新完成
算法分析：
如果最短路存在，一定存在一个不含环的最短路。（理由：对零环和正环，去掉后路径不会边长；对负环，若最短路径中存在负环，那一定不是最短路，负环可以无限绕下去，路径可以是负无穷）
最短路不含环，那么一条最短路径最多经过n-1个点（不含起点），所以最多需要n-1轮松弛操作。
复杂度分析：
最多进行n-1次迭代，每次迭代枚举遍历所有边，尝试通过边进行松弛操作，故复杂度为
O(N-1)*O(M)即O(NM)，（注：N为点数，M为边数）
伪代码
for (int i = 0; i
检查有无负环
将dist数组初始化为0，迭代n-1次后进行第n次迭代，如果第n次迭代有进行松弛操作，则一定存在负环，因为不存在负环最多只能进行n-1次松弛操作
代码实现：
void bellman_ford(int s, int end) // s为起点,end为终点
{
memset(dis, 127, sizeof(dis));
dis[s] = 0; //起点最短路为0
pre[s] = -1;
for (int i = 1; i
模板题
题目描述：
给你一张简单有向图，边权都为非负整数。以及一些询问，询问两个点之间的距离。
图用以下形式给出：
第一行输入三个整数 n,m,k表示图的顶点数、边数和询问次数，顶点编号从 1 到 n。
接下来 m 行，每行三个整数 x,y,z表示 x 到 y 有一条有向边，边权为 z。
接下来 k 行，每行两个整数 x,y 询问从 x 到 y 的最短路长度，如果无法到达，输出 −1。
输入格式：
第一行三个整数 n,m,k 表示图的顶点数、边数和询问次数。
接下来 m 行，每行有三个整数，代表一条边。
接下来 k 行，每行有两个整数，代表一次询问。
输出格式：
输出共 k 行，每行一个数表示一次询问的答案。
数据规模：
对于所有数据，保证 2≤n≤5000,0≤m≤10000,1≤k≤5,1≤x,y≤n,x≠y,1≤z≤10000。
样例输入：
3 3 2
1 2 3
2 3 2
3 2 1
1 3
3 1
样例输出：
5
-1
直接给代码了
参考文献：
《算法竞赛，入门经典（第二版）》
2022 Namomo Spring Camp Div2 Day8 直播课
ending
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Original: https://www.cnblogs.com/hygge/p/16200655.html
Author: self_disc
Title: bellman-ford 单源最短路问题 图解
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