符号检验
将样本数据减去原假设的中位数，样本大于中位数的个数应与小于中位数的个数相等。
(H_0:Q_{0.5}=q_0)；(H_1:Q_{0.5}\neq q_0)
记(s^-)为样本数据小于(q_0)的个数，(s^+)为样本数据大于(q_0)的个数；(n=s^++s^-)
(k = \min{s^+,s^-}\sim B(n,0.5))
- 单侧检验：(P(K\leq k))
- 双侧检验：2 (P(K\leq k))
注意这里是 累积概率而非点概率。
广义符号检验
将样本数据减去原假设的分位数，样本大于分位数的个数应与小于分位数的个数之比应该等于((1-\pi)/\pi)。
(H_0:Q_{\pi}=q_0)；(H_1:Q_{\pi}\neq q_0)
记(s^-)为样本数据小于(q_0)的个数，(s^+)为样本数据大于(q_0)的个数；(n=s^++s^-)
(s^- \sim B(n,\pi))
- 单侧检验：样本分位数大于假设值–(P(K\leq s^-))；样本分位数小于假设值–(1-P(K\leq s^–1))
- 双侧检验：2 (\min{P(K\leq s^-),1-P(P(K\leq s^–1)})
大样本条件下，(K)近似服从正态分布：
(K\sim N(n\pi,n\pi(1-\pi)))
Wilcoxon符号秩和检验
在符号检验的基础上考虑了数据大小的排序。
(H_0:Q_{\pi}=q_0)；(H_1:Q_{\pi}\neq q_0)
- 单侧检验：样本中位数大于假设值–(W=W^-)；样本中位数小于假设值–(W=W^+)
- 双侧检验：(W = min(W^-,W^+))
伴随概率的生成函数：
(M(t)=\dfrac{1}{2^n}\prod_{j=1}^{n}(1+e^{tj}))
展开得到：
(M(t)=a_0+a_1e^t+a_2e^{2t}+…)
有(P(W^+=j)=a_j)
大样本条件下，W统计量近似服从正态分布：
(W\sim N(n(n+1)/4,n(n+1)(2n+1)/24))
Original: https://www.cnblogs.com/Easterlin/p/16375823.html
Author: Esterlin
Title: 非参数统计：第二章 单样本数据
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