矩阵的特征值有以下性质：
设n阶矩阵(M=(m_{ij})_{n\times n})的全部特征值为(\lambda _1,\lambda _2,\cdots ,\lambda _n)，则有
性质1:(\lambda _1 \lambda _2 \cdots \lambda _n =det(M))
性质2:(\lambda 1 + \lambda _2 + \cdots + \lambda _n = m{11} + m_{22} + \cdots +m _{nn})
《高等数学基础线性代数与解析几何第二版》（魏战线）中对此证明略过，以下给出证明过程。
证明：
首先列出求特征值(\lambda)的基本公式：
[det(\lambda I-M)= \begin{vmatrix} \lambda – m_{11} & -m_{12} & -m_{13} & \cdots & -m_{1n}\ -m_{21} & \lambda – m_{22} & -m_{23} & \cdots & -m_{2n}\ -m_{31} & – m_{32} & \lambda -m_{33} & \cdots & -m_{3n}\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ -m_{n1} & -m_{n2} & -m_{n3} & \cdots & \lambda -m_{nn} \end{vmatrix} =0 \tag{1} ]
基本思路是采用两种方式展开(det(\lambda I – M)) ，然后对照(\lambda ^{n-1}) 的系数和常数项，得出上述两个性质。
(det(\lambda I – M))是(\lambda)的一元(n)次多项式，所以有
[det(\lambda I – M) = (\lambda – \lambda_1)(\lambda – \lambda_2)\cdots(\lambda – \lambda_n) ]
对其进行因式分解展开就有：
[det(\lambda I -M)=\lambda ^n -(\lambda_1 +\lambda_2 +\cdots +\lambda_n )\lambda^{n-1}+\cdots + (-1)^n \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n \tag{2} ]
注意，我们只写出了(\lambda^n 、 \lambda^{n-1})和常数项，因为后面的证明中只需要这几项。
可以看到
[det(\lambda I-M)= \begin{vmatrix} \lambda – m_{11} & -m_{12} & -m_{13} & \cdots & -m_{1n}\ -m_{21} & \lambda – m_{22} & -m_{23} & \cdots & -m_{2n}\ -m_{31} & – m_{32} & \lambda -m_{33} & \cdots & -m_{3n}\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ -m_{n1} & -m_{n2} & -m_{n3} & \cdots & \lambda -m_{nn} \end{vmatrix} =0 \tag{1} ]
以第一行展开（或者随便一行或一列），我们会发现，拥有(\lambda ^n)和(\lambda ^{n-1})的只有一项：
[(\lambda -m_{11})(\lambda – m_{22})\cdots(\lambda – m_{nn})\tag{3} ]
其他的最高只有(\lambda ^{n-2})，从(3)式就能知道：
(\lambda ^n)的系数是1；(\lambda ^{n-1})的系数是(-m_{11}-m_{22}-\cdots -m_{nn})。
与（2）式对照，得到性质2。
然后回到式子(1)，在(\vert \lambda I – M \vert)中，求常数项可以直接令(\lambda = 0)，即：
[常数项=\vert \lambda I – M \vert _{\lambda = 0} =\vert -M \vert =(-1)^ndet(M) ]
于是我们就得到了常数项((-1)^ndet(M)),对照(2)式中的常数项，性质1得证。
Original: https://www.cnblogs.com/yang-ding/p/16692486.html
Author: Half_Kettle
Title: 证明矩阵的迹等于特征值之和，矩阵的行列式等于特征值的乘积
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