高等代数：3 线性方程组的解集的结构

3 线性方程组的解集的结构

1、定义1：数域K上所有n元有序数组组成的集合(K^{n}),连同定义在它上面的加法运算和数量乘法运算，以及满足的8条运算法则一起，称为数域K上的一个 n维向量空间。(K^{n})的元素称为 n维向量；设向量(\alpha =(a_1,a_2,\dots,a_n))，称(a_i)是(\alpha)的第(i)个 分量。

取定一个数域K，设n是任意给定的一个正整数。令

[K^n={(a_1,a_2,\dots,a_n)\space|\space a_i \in K,i=1,2,\dots,n}. ]

如果(a_1=b_1,a_2=b_2,\dots,a_n=b_n)，则称(K^ n)中两个元素((a_1,a_2,\dots,a_n))与((b_1,b_2,\dots,b_n))相等。

在(K^{n})中规定加法运算如下：

[(a_1,a_2,\dots,a_n)+(b_1,b_2,\dots,b_n)\xlongequal{\text{def}}(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n) ]

在(K)的元素与(K^{n})的元素之间规定数量乘法运算如下：

[k(a_1,a_2,\dots,a_n) \xlongequal{\text{def}} (ka_1,ka_2,\dots,ka_n) ]

容易直接验证加法和数量乘法满足下述8条运算法则：对于(\alpha ,\beta ,\gamma \in K^n ;\space k,l \in K) 有

(1)(\alpha + \beta = \beta + \alpha)；

(2)((\alpha +\beta)+\gamma=\alpha +(\beta +\gamma))；

(3)把元素((0,0,\dots,0))记作 0，它使得

[\bold 0+\alpha=\alpha+\bold 0=\alpha, ]

称 0是(K^n)的 零元素；

(4)对于(\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in K^n)，令

[-\alpha \xlongequal{\text{def}} (-a_1,-a_2,\dots,-a_n) \in K^n, ]

[\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha=\bold 0, ]

称(-\alpha)是(\alpha)的 负元素；

(5)(1\alpha=\alpha);

(6)((kl)\alpha=k(l\alpha));

(7)((k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha);

(8)(k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta).

2、补充：

(1)通常用小写字母(\alpha ,\beta ,\gamma)表示向量。

(2)在n维向量空间(K^n)中，可以定义减法运算如下：

[\alpha -\beta \xlongequal{\text{def}} \alpha +(-\beta). ]

(3)在n维向量空间(K^n)中，容易直接验证下述4条性质：

[\begin{aligned} 0\alpha=\bold 0,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \ (-1)\alpha=-\alpha,& \qquad \forall \alpha \in K^n; \ k\bold 0=\bold 0,& \qquad \forall k \in K; \ k\alpha=\bold 0 \implies & k=0 \, 或 \, \alpha=\bold 0 \end{aligned} ]

(4)n元有序数组写成一行，称为 行向量；写成一列，称为 列向量。(K^n)既是n维行向量组成的向量空间，也是n维列向量组成的向量空间。

(5)在(K^n)中，给定向量组(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)，对于(\beta \in K^n)，如果存在K中一组数(c_1,c_2,\dots,c_s)使得

[\beta=c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\dots+c_s\alpha_s, ]

那么称(\beta)可以由(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s) 线性表出（示）。(\beta)是向量组(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)的一个 线性组合，其中(c_1,c_2,\dots,c_s)称为 系数。

3、定义2：(K^n)的一个非空子集U如果满足：

[\begin{aligned} (1) \quad & \alpha,\gamma \in U \implies \alpha +\gamma \in U, \ (2) \quad & \alpha \in U,k\in K \implies k\alpha \in U, \end{aligned} ]

那么称U是(K^n)的一个 线性子空间，简称 子空间。其中性质（1）称为U对于(K^n)的 加法封闭；性质（2）称为U对于(K^n)的 数量乘法封闭。

(1) { 0}是(K^n)的一个子空间，称为 零子空间。(K^n)本身也是(K^n)的一个子空间。

(2) 从而，(K^n)中，向量组(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)的所有线性组合组成的集合W是(K^n)的一个子空间，称它为(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s) 生成（或张成）的子空间，记作

[

(3) 命题1：数域K上n元线性方程组(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\dots+x_n\alpha_n=\beta)有解

[\begin{aligned} \iff & \beta \, 可以由\, \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n \,线性表出 \ \iff & \beta \in

1、定义1：(K^n)中向量组(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1))称为是 线性相关的，如果有K中不全为0的数(k_1,k_2,\dots,k_s)，使得

[k_1\alpha_1+\dots+k_s\alpha_s=\bold 0 ]

2、定义2：(K^n)中向量组(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1))如果不是线性相关的，那么称为 线性无关的。

3、从定义1和定义2显得：

（1）包含零向量的向量组一定线性相关((k\bold 0+\alpha_2+\dots+0\alpha_s=\bold 0));

（2）单个向量(\alpha)线性相关当且仅当(\alpha=\bold 0(因为k\alpha=0,k\not=0 \iff\alpha=\bold 0));

从而单个向量(\alpha)线性无关当且仅当(\alpha \not= \bold 0);

（3）(K^n)中，向量组

[\varepsilon_1=\begin{bmatrix} 1 \0\0\ \vdots \0\0\end{bmatrix}, \varepsilon_2=\begin{bmatrix} 0 \1\0\ \vdots \0\0\end{bmatrix},\dots, \varepsilon_n=\begin{bmatrix} 0 \0\0\ \vdots \0\1\end{bmatrix}, ]

是线性无关的。

4、向量组线性相关与线性无关区别：

（1）从线性组合看：

[\begin{aligned} &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant1)线性相关 \ \iff&它们有系数不全为0的线性组合等于零向量；\ \ &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性无关 \ \iff&它们只有系数全为0的线性组合才会等于零向量。 \end{aligned} ]

（2）从线性表出看：

[\begin{aligned} &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)线性相关 \ \iff&其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出；\ \ &向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 2)线性无关 \ \iff&其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。 \end{aligned} ]

（3）从齐次线性方程组看：

[\begin{aligned} &列向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性相关 \ \iff&齐次线性方程组x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0有非零解；\ \ &列向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s(s\geqslant 1)线性无关 \ \iff&齐次线性方程组x_1\alpha_1+\dots+x_s\alpha_s=\bold 0只有零解。 \end{aligned} ]

（4）从行列式看：

[\begin{aligned} &n个n维列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)线性相关 \ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n为列（行）向量组的矩阵的行列式等于零；\ \ &n个n维列（行）向量\alpha_1,\dots,\alpha_n(s\geqslant 1)线性无关 \ \iff&以\alpha_1,\dots,\alpha_n为列（行）向量组的矩阵的行列式不等于零。 \end{aligned} ]

（5）从向量组线性表出一个向量的方式看：

[\begin{aligned} 设向量\beta 可以由向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性表出，则 \ 向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性无关 \iff&表出方式唯一；\ 向量组\alpha_1,\dots,\alpha_s线性相关 \iff&表出方式有无穷多种。 \end{aligned} ]

（6）从向量组与它的部分组的关系看：

[\begin{aligned} &如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关。 \ &如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关。 \end{aligned} ]

（7）从向量组与它的延伸组或缩短组的关系看：

[\begin{aligned} &如果向量组线性无关，那么把每个向量添上m个分量（所添分量位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关。 \ &如果向量组线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关。 \end{aligned} ]

5、命题1：设向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性无关，则向量(\beta)可以由(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性表出的充分必要条件是(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta)线性相关。

推论1：设向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性无关，则向量(\beta)不能由(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性表出的充分必要条件是(\alpha_1,\dots,\alpha_s,\beta)线性无关。

6、替换定理：设向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性无关，(\beta=b_1\alpha_1,\dots,b_s\alpha_s)。如果(b_i\not=0)，那么用(\beta)替换(\alpha_i)后得到的向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_{i-1},\beta,\alpha_{i+1},\dots,\alpha_s)也线性无关。

1、定义1：向量组的一个部分组称为一个 极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，但是从这个向量组的其余向量（如果还有的话）中任取一个添进去，得到的新的部分组都线性相关。

2、定义2：如果向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)的每一个向量都可以由向量组(\beta_1,\dots,\beta_r)线性表出，那么称向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)可以由向量组(\beta_1,\dots,\beta_r)线性表出。如果向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)与向量组(\beta_1,\dots,\beta_r)可以相互线性表出，那么称向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)与向量组(\beta_1,\dots,\beta_r) 等价，记作

[{\alpha_1,\dots,\alpha_s}\cong{\beta_1,\dots,\beta_r} ]

向量组的等价是向量组之间的一种关系。可以证明其具有以下三种性质：

[\begin{aligned} &(1)反身性。即任何一个向量组都与自身等价； \ &(2)对称性。即如果\alpha_1,\dots,\alpha_s与\beta_1,\dots,\beta_r 等价，那么\beta_1,\dots,\beta_r与\alpha_1,\dots,\alpha_s等价； \ &(3)传递性。即如果 \ &\qquad {\alpha_1,\dots,\alpha_s}\cong{\beta_1,\dots,\beta_r},{\beta_1,\dots,\beta_r}\cong{\gamma_1,\dots,\gamma_t}， \ &那么\qquad \qquad \qquad {\alpha_1,\dots,\alpha_s}\cong{\gamma_1,\dots,\gamma_t}。 \end{aligned} ]

3、命题1：向量组与它的极大线性无关组等价。

推论1：向量组的任意两个极大线性无关组等价。

推论2：(\beta)可以由向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性表出当且仅当(\beta)可以由(\alpha_1,\dots,\alpha_s)的一个极大线性无关组线性表出。

4、引理1：设向量组(\beta_1,\dots,\beta_r)可以由向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性表出，如果(r>s)，那么(\beta_1,\dots,\beta_r)线性相关。

推论3：设向量组(\beta_1,\dots,\beta_r)可以由向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性表出，如果(\beta_1,\dots,\beta_r)线性无关，那么(r\leqslant s)。

推论4：等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等。

推论5：向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。

5、定义3：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个 向量组的秩。

全由零向量组成的向量组的秩规定为0。

向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)的秩记作(rank{\alpha_1,\dots,\alpha_s})。

6、命题2：向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的个数。

7、命题3：如果向量组（1）可以由向量组（2）线性表出，那么：（1）的秩(\leqslant)（2）的秩

8、命题4：等价的向量组有相等的秩。（注意：秩相等的向量组不一定等价）

1、定义1：设U是(K^n)的一个子空间，如果(\alpha_1,\dots,\alpha_r \in U),并且满足下述两个条件：

[\begin{aligned} &(1)\alpha_1,\dots,\alpha_r线性无关，\ &(2)U中每一个向量都可以由\alpha_1,\dots,\alpha_r线性表出， \end{aligned} ]

那么称(\alpha_1,\dots,\alpha_r)是U的一个 基。

显然，(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)是(K^n)的一个基，称它为(K^n)的 标准基。

2、定理1：(K^n)的任一非零子空间U都有一个基。

3、定理2：(K^n)的非零子空间U的任意两个基所含的向量的个数相等。

4、定义2：(K^n)的非零子空间U的一个基所含向量的个数称为U的维数，记作(dim_K\, U)，或者(dim \, U)。

零子空间的维数规定为0。

因为(dim \, K^n=n)，所以称(K^n)为n维向量空间。

对于(\alpha=a_1\alpha_1+\dots+a_r\alpha_r)，把有序数组((a_1,\dots,a_r ))称为(\alpha)在基(\alpha_1,\dots,\alpha_r)下的 坐标。

5、命题1：设(dim \, U=r)，则U中任意r+1个向量都线性相关。

6、命题2：设(dim \, U=r)，则U中任意r个线性无关的向量都是U的一个基。

7、命题3：设(dim \, U=r)，设(\alpha_1,\dots,\alpha_r \in U)。如果U中每一个向量都可以由$\alpha_1,\dots,\alpha_r (线性表出，那么)\alpha_1,\dots,\alpha_r $是U的一个基。

8、命题4：设U和W都是(K^n)的非零子空间，如果(U\subseteq W)，那么(dim \, U \leqslant dim \, W)。

9、命题5：设U和W是(K^n)的两个非零子空间，且(U\subseteq W)，如果(dim \, U = dim \, W)，那么(U= W)。

10、定理3：向量组(\alpha_1,\dots,\alpha_s)的一个极大线性无关组是这个向量组生成的子空间(的一个基，从而

[dim

1、定理1：阶梯型矩阵J的行秩与列秩相等，它们都等于J的非零行的个数；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2、定理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

3、定理3：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性，从而不改变矩阵的列秩。

4、定理4：任一矩阵A的行秩等于它的列秩。

5、定义1：矩阵A的行秩与列秩统称为A的 秩，记作(rank (A))。

6、推论1：设矩阵A经过初等行变换化成阶梯型矩阵J，则A的秩等于J的非零行个数。设J的主元所在的列是第(j_1,j_2,\dots,j_r)列，则A的第(j_1,j_2,\dots,j_r)列构成A的列向量组的一个极大线性无关组。

7、推论2：矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。

8、定理5：任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数。

9、推论3：设(s\times n)矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶子式所在的列（行）构成A的列（行）向量组的一个极大线性无关组。

10、推论4：n级矩阵A满秩的充分必要条件是(|A|\not=0)。

1、定理1（线性方程组有解判别定理）：数域K上线性方程组

[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1} ]

有解的充分必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等。

2、定理2：数域K上n元线性方程组（1）有解时，如果它的系数矩阵等于n，那么方程组（1）有唯一解；如果A的秩小于n，那么方程组（1）有无穷多个解。

推论1：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：它的系数矩阵的秩小于未知量的个数。

数域K上n元齐次线性方程组

[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{1} ]

的一个解是(K^n)中一个向量，称它为齐次线性方程组（1）的一个 解向量。齐次线性方程组（1）的解集W是(K^n)的一个非空子集。

性质1：若(\gamma,\delta \in W)，则(\gamma+\delta \in W.)

性质2：(若\gamma \in W,k \in K,则k\gamma \in W.)

由上述得，齐次线性方程组（1）的解集W是(K^n)的一个子空间，称它为方程组（1）的 解空间。如果方程组（1）的系数矩阵A的秩等于n，那么(W={\bold 0 })。如果(rank(A)

定义1：齐次线性方程组（1）有非零解时，如果它的有限多个解(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t)满足：

[\begin{aligned} &(1)\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 线性无关；\ &(2)齐次线性方程组（1）的每一个解都可以由\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t 线性表出， \end{aligned} ]

那么称(\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_t)是齐次线性方程组（1）的一个 基础解系。其解集W表示为：

[W={k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \,|\,k_i \in K,i=1,2,\dots,t}. ]

通常也说齐次线性方程组（1）的全部解是：

[k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_t\eta_t \, ,\,k_1,k_2,\dots,k_i \in K ]

定理1：数域K上n元齐次线性方程组的解空间W的维数为

[dim \, W=n-rank(A),\tag{2} ]

其中A是方程组的系数矩阵。从而当齐次线性方程组（1）有非零解时，它的每个基础解系所含解向量的个数都等于(n-rank(A))。

对于数域K上n元非齐次线性方程组

[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\beta \tag{1} ]

设其解集为U。为此考虑相应的齐次线性方程组

[x_1\alpha_1+\dots+x_n\alpha_n=\bold 0\tag{2} ]

称它为非齐次线性方程组（1）的 导出组。导出组的解空间用W表示。

性质1：若(\gamma,\delta \in U)，则(\gamma-\delta \in W.)

性质2：(若\gamma \in U,\eta \in W,则\gamma+\eta \in U.)

定理1：如果数域K上n元非齐次线性方程组（1）有解，那么它的解集U为

[U={\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W}, \tag{3} ]

其中(\gamma_0)是非齐次线性方程组（1）的一个解（称(\gamma_0)是 特解），W是方程组（1）的导出组的解空间。

我们把集合({\gamma_0+\eta \, | \, \eta \in W})记作(\gamma_0+W)。称它是一个W型的 线性流形（或子空间W的一个 陪集），把(dim\,W)称为线性流形(\gamma_0+W)的维数。

注：U不是子空间，因为U对于加法和数乘都不封闭。

推论1：如果n元非齐次线性方程组（1）有解，那么它的解唯一的充分必要条件是：它的导出组（2）只有零解。

Original: https://www.cnblogs.com/hs3434/p/16128342.html
Author: hs3434
Title: 高等代数：3 线性方程组的解集的结构