高等代数：4 矩阵的运算

4 矩阵的运算

1、数域K上两个矩阵称为 相等，如果它们的行数相等，列数也相等，并且它们的所有元素对应相等。

2、定义1：设(A=(a_{ij}),B=(b_{ij}))都是数域K上(s \times n)矩阵，令

[C=(a_{ij}+b_{ij})_{s \times n}, ]

则称矩阵C是矩阵A与B的和，记作(C=A+B)。

3、定义2：设(A=(a_{ij}))是数域K上(s \times n)矩阵，(k\in K)，令

[M=(ka_{ij})_{s \times n}, ]

则称矩阵M是k与矩阵A的 数量乘积，记作(M=kA)。

4、设(A=(a_{ij}))，矩阵((-a_{ij}))称为A的负矩阵，记作—A。容易验证，矩阵的加法与数量乘法运算满足类似于n维向量的加法与数量乘法所满足的8条运算法则。并可由负矩阵概念定义矩阵减法运算。

5、定义3：设(A=(a_{ij}){s \times n})，(B=(b{ij})_{n \times m})，令

[C=(c_{ij})_{s \times m}, ]

[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\, ,\, i=1,2,\dots,s;j=1,2,\dots,m. ]

则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记作(C=AB)。

（1）只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相同的两个矩阵才能相乘；

（2）乘积矩阵的((i,j))元等于左矩阵的第(i)行与右矩阵的第(j)列的对应元素的乘积之和；

（3）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。

6、对于(AB=0)，若(B\not=0)，则称A是一个 左零因子，若(A\not=0)，则称B是是一个 右零因子，左零因子和右零因子统称为 零因子。显然，零矩阵是零因子，称为 平凡的零因子。

7、矩阵的乘法适合 结合律和 左右分配律。另与数量乘法一起满足：(k(AB)=(kA)B=A(kB))。

8、主对角线上元素都是1，其余元素为0的n级矩阵称为n级 单位矩阵，记作(I_n),或简记(I)。(kI)称为 数量矩阵。

9、若(AB=BA)，则称A与B 可交换。数量矩阵与任一同级矩阵可交换。

10、由于矩阵的乘法适合结合律，因此可定义n级矩阵A的非负整数次幂：

[\begin{aligned} &A^m\xlongequal{\text{def}}A\cdot A\cdot \ldots\cdot A,\,m\in Z^+;\ &A^0\xlongequal{\text{def}}I. \end{aligned} ]

容易看出，对于任意自然数(k,l)有：

[A^kA^l=A^{k+l},\,(A^k)^l=A^{kl}. ]

注：由于矩阵乘法不满足交换律，故一般来说，((AB)^k\not=A^kB^k)。

11、对于矩阵转置有：

[\begin{aligned} (1)\qquad&(A+B)’=A’+B’;\ (2)\qquad&(kA)’=kA’;\ (3)\qquad&(AB)’=B’A’. \end{aligned} ]

1、对角矩阵

定义1：主对角线以外的元素全为0的方阵称为 对角矩阵，简记作：(diag{d_1,d_2,\dots,d_n})。

命题1：用一个对角矩阵左（右）乘一个矩阵A，就相当于用对角矩阵的主对角元分别去乘A的相应的行（列）。

2、基本矩阵

定义2：只有一个元素是1，其余元素全为0的矩阵称为 基本矩阵。((i,j))元为1的基本矩阵记作(E_{ij})。故：

[A=(a_{ij}){s \times n}=\begin{bmatrix} a{11} & a_{12} & … & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{s1} & a_{s2} & … & a_{sn} \end{bmatrix}=a_{11}E_{11}+a_{12}E_{12}+\dots+a_{sn}E_{sn}=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}. ]

命题2：用(E_{ij})左乘一个矩阵A，就相当于把A的第j行搬到第i行的位置，而乘积矩阵的其余行全为零行；用(E_{ij})右乘一个矩阵A，就相当于把A的第j列搬到第i列的位置，而乘积矩阵的其余列全为零列。故：

[\begin{aligned} &E_{ij}E_{kl}= \begin{cases} E_{il}&当k=j; \ 0&当k\not=j. \end{cases} \ &E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}. \end{aligned} ]

3、上（下）三角矩阵

定义3：主对角线下（上）方元素全为0的方阵称为上（下）三角矩阵。

A为上三角矩阵的充分必要条件：

[a_{ij}=0,当i>j.\, A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}. ]

命题3：两个n级上三角矩阵A与B的乘积仍为上三角矩阵，并且AB的主对角线元素等于A与B的相应主对角元的乘积。两个n级下三角矩阵A与B的乘积仍为下三角矩阵，并且AB的主对角线元素等于A与B的相应主对角元的乘积。

4、初等矩阵

定义4：由单位矩阵经过一次初等行（列）变换得到的矩阵称为 初等矩阵。容易得出，初等矩阵只有下面三种类型：

[\begin{aligned} &I\xrightarrow{(j)+(i)\cdot k}P(j,i(k)),\ &I\xrightarrow{(i,j)}P(i,j),\ &I\xrightarrow{(i)\cdot c}P(i(c)),\, c\not=0; \end{aligned} ]

设A是一个(s \times n)矩阵，它的行向量组是(\gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_s)；列向量组是(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)。则

[\begin{aligned} &P(j,i(k))A=\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \ &\ddots& & & & & \ & & 1 & & & & \ & &\vdots&\ddots& & & \ & & k &\dots &1 & & \ & & & & &\ddots& \ & & & & & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1 \ \gamma_2 \ \vdots \ \gamma_s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma_1 \ \vdots \ \gamma_i \ \vdots \ k\gamma_i+\gamma_j \ \vdots \ \gamma_s \end{bmatrix} ,\ &AP(j,i(k))=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \ &\ddots& & & & & \ & & 1 & & & & \ & &\vdots&\ddots& & & \ & & k &\dots &1 & & \ & & & & &\ddots& \ & & & & & & 1 \end{bmatrix}=(\alpha_1,\dots,\alpha_i+k\alpha_j,\dots,\alpha_j,\dots,\alpha_n) \end{aligned} ]

由上诉看出：

[\begin{aligned} &用P(j,i(k))左乘A，就相当于把A的第i行的k倍加到第j行上，其余行不变；\ &用P(j,i(k))右乘A，就相当于把A的第j列的k倍加到第i列上，其余列不变；\ &用P(i,j)左（右）乘A，就相当于把A的第i行（列）与第j行（列）互换，其余行（列）不变；\ &用P(i(c))(c\not=0)左（右）乘A，就相当于用c乘A的第i行（列），其余行（列）不变。 \end{aligned} ]

定理1：用初等矩阵左（右）乘一个矩阵A，就相当于A作了一次相应的初等行（列）变换。

5、对称矩阵

定义5：一个矩阵A如果满足(A’=A)，那么称A是 对称矩阵。

命题4：设A、B都是数域K上的n级对称矩阵，则(A+B，kA(k\in K))都是对称矩阵。

命题5：设A、B都是数域K上的n级对称矩阵，则AB为对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。

6、斜对称矩阵

定义6：一个矩阵A如果满足(A’=-A)，那么称A是 斜对称矩阵。

命题6：数域K上奇数级斜对称矩阵的行列式等于0。

1、定理1：设(A=(a_{ij}){s \times n},B=(b{ij})_{n \times m}，则：rank(AB)\leqslant min{rank(A),rank(B)}.)

2、定理2：设(A=(a_{ij}){n \times n},B=(b{ij})_{n \times n}，则：|AB|=|A||B|.)

3、定理3（Binet-Cauchy公式）：(A=(a_{ij}){s \times n},B=(b{ij})_{n \times s}，)

[\begin{aligned} &(1)如果s>n，那么|AB|=0；\ &(2)如果s\leqslant n，那么|AB|等于A的所有s阶子式与B的相应s阶子式的乘积之和，即\ &|AB|=\sum_{1\leqslant v_1

4、命题1：设(A=(a_{ij}){s \times n},B=(b{ij})_{n \times s}，设正整数r\leqslant s)，

[\begin{aligned} &(1)如果r>n，那么AB的所有r阶子式都等于0；\ &(2)如果r\leqslant n，那么AB的任一r阶子式为\ &AB\begin{pmatrix} i_1,i_2,\dots,i_r \ j_1,j_2,\dots,j_r \end{pmatrix}=\sum_{1\leqslant v_1

5、矩阵A的一个子式如果行指标与列指标相同，那么称它为A的一个 主子式。

1、定义1：对于数域K上矩阵A，如果存在数域K上矩阵B，使得

[AB=BA=I \tag{1} ]

那么称A是 可逆矩阵（或 非奇异矩阵）。

2、定义2：如果A是可逆矩阵，那么适合（1）式的矩阵B称为A的 逆矩阵，记作(A^{-1})。(A^{-1})是唯一的。

3、定理1：数域K上n级矩阵A可逆的充分必要条件是(|A|\not=0)。当A可逆时，

[A^{-1}=\frac 1 {|A|} A^*. \tag{2} ]

称(A^{})为A的 伴随矩阵。满足(AA^{}=A^{*}A=|A|I)。

数域K上n级矩阵A可逆的充分必要条件汇总：

[\begin{aligned} &数域K上n级矩阵A可逆 \ \iff&|A|\not=0\ \iff&A为满秩矩阵\ \iff&A的行（列）向量组线性无关 \ \iff&A的行（列）向量组为K^{n}的一个基\ \iff&A的行（列）空间等于K^{n}\ \iff&A可以表示成一些初等矩阵的乘积。 \end{aligned} ]

命题1：设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果(AB=I)，那么A与B都是可逆矩阵，并且(A^{-1}=B,B^{-1}=A)。

4、可逆矩阵的性质：

[\begin{aligned} &性质1：单位矩阵I可逆，且I^{-1}=I。\ &性质2：如果A可逆，那么A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1}=A。\ &性质3：如果n级矩阵A、B都可逆，那么AB也可逆，并且(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}。推广：(A_1A_2\dots A_s)^{-1}=A_s^{-1}\dots A_2^{-1}A_1^{-1}。\ &性质4：如果A可逆，那么A’也可逆，并且(A’)^{-1}=(A^{-1})’。\ &性质5：可逆矩阵经过初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵一定是单位矩阵。\ &性质6：矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积。\ &性质7：用一个可逆矩阵左（右）乘一个矩阵A，不改变A的秩。 \end{aligned} ]

5、 初等变换法求逆矩阵：

[(A,I)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(I,A^{-1}) ]

1、对于分块矩阵(A=\begin{bmatrix}A_1&A_2\A_3&A_4 \end{bmatrix},A’=\begin{bmatrix}A_1’&A_3’\A_2’&A_4′ \end{bmatrix})。

2、分块矩阵相乘需满足下列条件：

[\begin{aligned} &(1)左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数；\ &(2)左矩阵每个列组所含列数等于右矩阵相应行组所含行数。 \end{aligned} ]

3、命题1：(设A是s \times n矩阵，B是n \times m矩阵，B的列向量组为\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m。则)

[AB=A(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m)=(A\beta_1,A\beta_2,\dots,A\beta_m). ]

推论1：(设A_{s \times n}\not=0,B_{n \times m}的列向量组是\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m。则)

[AB=\bold 0\iff\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m 都是齐次线性方程组AX=\bold 0的解。 ]

推论2：(设A_{s \times n}\not=0,B_{n \times m}的列向量组是\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m;C_{s \times m}的列向量组是\delta_1,\delta_2,\dots,\delta_m。则)

[AB=C\iff\beta_i是线性方程组AX=\delta_i的一个解，i=1,2,\dots,m. ]

4、分块矩阵的初等行变换：

[\begin{aligned} &(1)把一个块行的左P倍（P是矩阵）加到另一个块行上，如\ &\qquad \begin{bmatrix}A_1&A_2\A_3&A_4 \end{bmatrix}\xrightarrow{(2)+P\cdot (1)} \begin{bmatrix}A_1&A_2\PA_1+A_3&PA_2+A_4 \end{bmatrix};\ &(2)互换两个块行的位置；\ &(3)用一个可逆矩阵左乘某一块行（为的是可以把所得到的分块矩阵变回原来的分块矩阵）。 \end{aligned} ]

类似的有分块矩阵的初等列变换。

把单位矩阵分块，并经过一次分块矩阵的初等行（列）变换得到的矩阵称为 分块初等矩阵。

5、分块对角矩阵：(diag{A_1,A_2,\dots,A_s},其中A_i是方阵,i=1,2,\dots,s.)

6、 分块上（下）三角矩阵：主对角线上子矩阵都是方阵，而位于主对角线上（下）方的所有矩阵都为0。

性质：(\begin{vmatrix} A&0\C&B\end{vmatrix}=|A||B|.)

7、命题2：(设A、B分别是s \times n、n \times s矩阵，则)

[\begin{aligned} &(1)\begin{vmatrix} I_n&B\ A&I_s\end{vmatrix}=|I_s-AB|;\ &(2)\begin{vmatrix} I_n&B\ A&I_s\end{vmatrix}=|I_n-BA|;\ &(3)|I_s-AB|=|I_n-BA|. \end{aligned} ]

8、命题3：(设A=\begin{bmatrix}A_1&A_3\0&A_2 \end{bmatrix}，其中A_1，A_2都是方阵。则A可逆当且仅当A_1，A_2都可逆，此时)

[A^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&-A_1^{-1}A_3A_2^{-1}\0&A_2^{-1} \end{bmatrix}. ]

1、定义1：实数域上的n级矩阵A如果满足：(AA’=I)，那么称A是正交矩阵。

命题1：实数域上的n级矩阵A是正交矩阵

[\begin{aligned} &\iff AA’=I\ &\iff A可逆，且A^{-1}=A’\ &\iff A’A=I \end{aligned} ]

正交矩阵具有下列性质：

[\begin{aligned} &(1)I是正交矩阵；\ &(2)若A和B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；\ &(3)若A是正交矩阵，则A^{-1}（即A’）也是正交矩阵；\ &(4)若A是正交矩阵，则|A|=1或-1。 \end{aligned} ]

命题2：设实数域上n级矩阵A的行向量组为(\gamma_1,\dots,\gamma_n)；列向量组为(\alpha_1,\dots,\alpha_n)。则

[\begin{aligned} &(1)A为正交矩阵当且仅当A的行向量组满足：\gamma_i\gamma_j’=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\0,\qquad 当i\not=j;\end{cases}\ &(1)A为正交矩阵当且仅当A的列向量组满足：\alpha_i’\alpha_j=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\0,\qquad 当i\not=j.\end{cases} \end{aligned} ]

引用Kronecker记号(\delta_{ij},\delta_{ij}=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\0,\qquad 当i\not=j.\end{cases})。故命题2可简记为：

[\begin{aligned} &(1)\gamma_i\gamma_j’=\delta_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n; \ &(2)\alpha_i’\alpha_j=\delta_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n; \end{aligned} ]

2、定义2：(在R^n中，任给\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)，规定)

[(\alpha,\beta)\xlongequal{\text{def}}a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n,\tag{1} ]

这个二元实值函数((\alpha,\beta)称为R^n)的一个 内积（通常也称为 标准内积）。（1）式可写为((\alpha,\beta)=\alpha\beta’).

可验证(R^n)的标准内积具有以下性质：

[\begin{aligned} &(1)(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)，对称性\ &(2)(\alpha+\gamma,\beta)=(\alpha,\beta)+(\gamma,\beta)，线性性1\ &(3)(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)，线性性2\ &(4)(\alpha,\alpha)\geqslant 0，等号成立当且仅当\alpha=\bold 0。（正定性） \end{aligned} ]

定义了内积之后，n维向量空间(R^n)就被称为一个 欧几里得空间。

在欧几里得空间(R^n)中规定向量(\alpha 的长度：|\alpha|\xlongequal{\text{def}}\sqrt{(\alpha,\alpha)}.)

长度为1的向量称为单位向量，把非零向量(\alpha)乘以(\frac 1 {|\alpha|})称为把 (\alpha) 单位化。

如果((\alpha,\beta)=0)，那么称(\alpha与\beta)是 正交的，记作(\alpha \bot \beta)。非零向量组成的向量组如果向量两两正交，则称为 正交向量组。类似可定义 正交单位向量组。

命题3：欧几里得空间(R^n)中，正交向量组一定是线性无关的。

根据命题3得，欧几里得空间(R^n) 中，n个向量组成的正交向量组一定是(R^n)的一个基，称它为 正交基。n个单位向量组成的向量组称为 标准正交基。

命题4：实数域上n级矩阵A是正交矩阵的充分必要条件为：A的行（列）向量组是欧几里得空间(R^n)的一个标准正交基。

3、定理1：(设\alpha_1,\dots,\alpha_s是欧几里得空间R^n中一个线性无关的向量组，令)

[\begin{aligned} &\beta_1=\alpha_1\ &\beta_2=\alpha_2-\frac {(\alpha_2,\beta_1)} {(\beta_1,\beta_1)} \beta_1,\ &\dots\ &\beta_s=\alpha_s-\sum_{j=1}^{s-1} \frac {(\alpha_s,\beta_j)} {(\beta_j,\beta_j)} \beta_j, \end{aligned}\tag{2} ]

(则\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s是正交向量组，并且\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s与\alpha_1,\dots,\alpha_s等价。)

定理1称为 施密特（Schmidt）正交化过程。只要再进行单位化，就能得到正交单位向量组，即(R^n)的标准正交基。

1、定义1：设(S和S’)是两个集合，如果存在一个对应法则(f)，使得集合(S)中每一个元素a，都有集合(S’)中唯一确定的元素b与之对应，那么称(f)是集合(S)到(S’)的一个 映射，记作

[\begin{aligned} f:&S\rightarrow S’\&a\mapsto b, \end{aligned} ]

其中，b称为a在(f)下的 象，a称为b在(f)下的 一个原象。b在(f)下的 原象集记作(f^{-1}(b)。)a在(f)下的象用符号(f(a))或(fa)表示，于是映射(f)也可以记成

[f(a)=b,a\in S ]

2、设(f)是集合S到集合S’的一个映射，则把S叫做映射(f)的 定义域，把S’叫做(f)的 陪域。S的所有元素在(f)下的象组成的集合叫做(f)的 值域或 (f) 的象，记作(f(S))或Im (f)。即

[f(S)=\text{Im}f\xlongequal{\text{def}}{f(a)\,|\,a\in S}={b\in S’\,|\,存在a\in S使f(a)=b}. ]

3、设(f)是集合S到集合S’的一个映射，如果(f(S)=S’)，那么称(f)是 满射（或(f)是S到S’上的映射）。(f)是满射当且仅当(f)的陪域中每一个元素都有至少一个原象。

如果映射(f)的定义域S中不同的元素的象也不同，那么称(f)是 单射（或(f)是一对一映射）。(f)是单射当且仅当从(a_1,a_2\in S)且(f(a_1)=f(a_2))可以推出(a_1=a_2。)

如果映射(f)既是单射，又是满射，那么称(f)是 双射（或(f)是S到S’的一个一一对应）。(f)是双射当且仅当陪域中每一个元素都有唯一的一个原象。

映射(f)与映射(g)称为 相等，如果他们的定义域相等，陪域相等，并且对应法则相同。（(即\forall x\in S,有f(x)=g(x))）。

集合S到自身的一个映射，通常称为S上的一个 变换。

4、定义2：映射(f:S\rightarrow S)，如果把S中每一个元素对应到它自身，即(\forall x\in S,有f(x)=x)，那么称(f)是 恒等映射（或S上的 恒等变换），记作：(1_s)。

5、定义3：相继施行映射(g:S\rightarrow S’和f:S’\rightarrow S”，得到S到S”)的一个映射，称为(f与g)的 乘积（或 合成），记作(fg)。即

[(fg)(a)\xlongequal{\text{def}}f(g(a)),\forall a\in S. ]

定理1：映射的乘法适合结合律。即如果(h:S\rightarrow S’,g:S’\rightarrow S”,f:S”\rightarrow S”’)，那么(f(gh)=(fg)h.)

注意映射的乘法不适合交换律，但对于(f:S\rightarrow S’,有f1_s=1_sf=f.)

6、定义4：设(f:S\rightarrow S’)，如果存在一个映射(g:S’\rightarrow S使得fg=gf=1_s)，那么称映射(f)是可逆的，此时称(g是f)的一个 逆映射。

定理2：映射(f:S\rightarrow S’)是可逆的充分必要条件为(f)是双射。

7、定义5：数域K上的向量空间(K^n 到K^s)的一个映射(\sigma)如果保持加法和数量乘法，即(\forall \alpha,\beta \in K^n,k\in K)，有

[\begin{aligned} \sigma(\alpha+\beta)&=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta),\ \sigma(k\alpha)&=k\sigma(\alpha), \end{aligned} ]

那么称(\sigma是K^n 到K^s)的一个 线性映射。

设A是数域K上(s \times n)矩阵，令

[\begin{aligned} A:&K^n\rightarrow K^s\&\alpha\mapsto A\alpha, \end{aligned}\tag{1} ]

则容易验证A是(\sigma是K^n 到K^s)的一个线性映射。

事实1：数域K上n元线性方程组(AX=\beta)有解

[\begin{aligned} \iff&存在\gamma \in K^n,使得A\gamma=\beta\ \iff&存在\gamma \in K^n,使得A(\gamma)=\beta\ \iff&\beta \in \text{Im}A. \end{aligned} ]

事实2：设数域K上(s \times n)矩阵A的列向量组是(\alpha_1,\dots,\alpha_n)，则

[\begin{aligned} &\beta\in \text{Im}A\ \iff&线性方程组AX=\beta有解\ \iff&\beta \in

因此(\qquad \text{Im}A=

即，由（1）式定义的映射A的象（值域）等于矩阵A的列空间，从而Im (A)是(K^s)的一个子空间。

事实3：设数域K上齐次线性方程组(AX=\bold 0)的解空间是W，则

[\eta \in W \iff A\eta=\bold 0 \iff A(\eta)=\bold 0. ]

8、定义6：设(\sigma 是K^n到K^s)的一个映射，(K^n)的一个子集({\alpha \in K^n|\sigma(\alpha)=\bold 0})称为(\sigma)的 核，记作：Ker (\sigma)

容易验证Ker (\sigma)是(K^n)的一个子空间。

由（1）式定义的线性映射A的核等于齐次线性方程组(AX=\bold 0)的解空间。即：Ker (\sigma=W)

综上，有：

[dim \,\text{Ker}\,A+dim\,\text{Im}\,A=dim\,K^n. ]

Original: https://www.cnblogs.com/hs3434/p/16149730.html
Author: hs3434
Title: 高等代数：4 矩阵的运算