高等代数：5 矩阵的相抵与相似

5 矩阵的相抵与相似

1、设S,M是两个集合，则集合 ({(a,b)|a \in S,b \in W}) 称为S与M的 笛卡儿积，记作：(S \times M)。

2、定义1：设S是一个非空集合，我们把(S \times S)的一个子集W叫做S上的一个 二元关系。如果(a,b)\in W)，那么称a与b有W关系；反之没有W关系。当a与b有W关系时，记作aWb，或(a\sim b)。

3、定义2：集合S上的一个二元关系(\sim)如果具有下述性质：(\forall a,b,c\in S)，有

[\begin{aligned} &(1)a\sim a &（反身性）；\ &(2)a\sim b\implies b\sim a& （对称性）；\ &(3)a\sim b且b\sim c \implies a\sim c &（传递性）。 \end{aligned} ]

那么称(\sim)是S上的一个 等价关系。

4、定义3：设(\sim)是S上的一个等价关系，(a\in S)，令

[\bar{a}\xlongequal{\text{def}}{x\in S|x\sim a}, ]

则称(\bar{a})是由(a)确定的 等价类。

事实1：(a\in \bar{a}于是也把\bar{a}称为a的等价类。)

事实2：(x\in bar{a}\iff x\sim a.)

事实3：(\bar{x}=\bar{y}\iff x\sim y.)

5、定理1：设(\sim)是集合S上的一个等价关系，任取(a,b\in S)，则(\bar{a}=\bar{b})或者(\bar{a}\cap\bar{b}=\varnothing).

6、定义4：如果集合S是一些非空子集(S_i（i\in I，这里I表示指标集）)的并集，并且其中不相等的子集一定不相交，那么称集合({S_i|i\in I})是S的一个 划分，记作：(\pi(S))。

7、定理2：设(\sim)是集合S上的一个等价关系，则所有等价类组成的集合是S的一个划分，记作：(\pi_\sim(S))。

8、定义5：设(\sim)是集合S上的一个等价关系。由所有等价类组成的集合称为S对于关系(\sim)的 商集，记作：(S/\sim)。

1、定义1：对于数域K上(s \times n)矩阵A和B，如果从A经过一系列初等行变换和初等列变换能变成矩阵B，那么称A与B是 相抵的，记作：(A\overset{相抵}{\sim}B)。

容易验证相抵是(M_{s \times n}(K))上的一个等价关系。在相抵关系下，矩阵A的等价类称为A的 相抵类。

事实1：数域K上(s \times n)矩阵A和B相抵

[\begin{aligned} \iff&A可以经过初等行变换和初等列变换变成B，\ \iff&存在K上s级初等矩阵P_1,P_2,\dots,P_t与n级初等矩阵Q_1,Q_2,\dots,Q_m，使得\ &P_t\dots P_2P_1AQ_1Q_2\dots Q_m=B.\ \iff&存在K上s级可逆矩阵P与n级可逆矩阵Q，使得：\ &PAQ=B.&(1) \end{aligned} ]

2、定理1：设数域K上(s \times n)矩阵A的秩为r。如果(r>0)，那么A相抵于下述形式的矩阵：

[\begin{pmatrix} I_r&0\ 0&0 \end{pmatrix},\tag{2} ]

称矩阵（2）为A的 相抵标准形；如果r=0，那么A相抵于零矩阵，此时称A的相抵标准形是零矩阵。

3、定理2：数域K上(s \times n)矩阵A和B相抵当且仅当它们的秩相等。

4、推论1：设数域K上(s \times n)矩阵A的秩为(r(r>0))，则存在K上的s级、n级可逆矩阵P、Q，使得

[A=P\begin{pmatrix}I_r&0\0&0\end{pmatrix}Q.\tag{3} ]

1、定理1：设A是数域K上(s \times n)非零矩阵，则矩阵方程

[AXA=A\tag{1} ]

一定有解。如果(tank(A)=r)，并且

[A=P\begin{pmatrix}I_r&0\0&0\end{pmatrix}Q.\tag{2} ]

其中P、Q分别是K上s级、n级可逆矩阵，那么矩阵方程（2）的通解为

[X=Q^{-1}\begin{pmatrix}I_r&B\C&D\end{pmatrix}P_{-1}\tag{3} ]

其中B、C、D分别是数域K上任意的(r \times (s-r),(n-r) \times r,(n-r)\times (s-r))矩阵。

2、定义1：设A是数域K上(s \times n)矩阵，矩阵方程AXA=A的每一个解都称为A的一个 广义逆矩阵，简称A的 广义逆，用(A^-)表示A的任意一个广义逆。

任意一个(s \times n)矩阵都是(0_{s \times n})的广义逆。

3、定理2（非齐次线性方程组的相容定理）：非齐次线性方程组(AX=\beta)有解的充分必要条件是：

[\beta=AA^-\beta.\tag{4} ]

4、定理3（非齐次线性方程组的解的结构定理）：非齐次线性方程组(AX=\beta)有解时，它的通解为：

[X=A^-\beta.\tag{5} ]

5、定理4（齐次线性方程组的解的结构定理）：数域K上n元齐次线性方程组AX= 0的通解为：

[X=(I_n-A^-A)Z.\tag{6} ]

其中(A^-)是A的任意给定的一个广义逆，Z取遍(K^n)中任意列向量。

推论1：设数域K上n元非齐次线性方程组(AX=\beta)有解，则它的通解为

[X=A^-\beta+(I_n-A^-A)Z.\tag{7} ]

其中(A^-)是A的任意给定的一个广义逆，Z取遍(K^n)中任意列向量。

6、定义2：设A是复数域上(s \times n)矩阵，矩阵方程组

[\begin{cases} AXA&=A\ XAX&=X\ (AX)^&=AX\ (XA)^&=XA \end{cases}\tag{8} ]

称为A的 Penrose 方程组，它的解称为A的 Moore-Penrose 广义逆，记作：(A^+)。（8）式中((AX)^*)表示把AX的每个元素取共轭复数得到的矩阵再转置。

7、定理5：如果A是复数域上(s \times n)非零矩阵，A的 Penrose 方程组总是有解，并且它的解唯一。设A=BC，其中B、C分别是列满秩与行满秩矩阵，则 Penrose 方程组的唯一解是

[X=C^(CC^)^{-1}(B^B)^{-1}B^.\tag{9} ]

1、定义1：设A与B都是数域K上n级矩阵，如果存在数域K上一个n级可逆矩阵P，使得

[P^{-1}AP=B,\tag{1} ]

那么称A与B是 相似的，记作：(A\sim B)。

相似关系是一种等价关系，相似关系下的等价类称为 相似类。相似具有下列性质：

性质1：如果(B_1=P^{-1}A_1P,\,B_2=P^{-1}A_2P)，那么

[\begin{aligned} B_1+B_2&=P^{-1}(A_1+A_2)P,\ B_1B_2&=P^{-1}(A_1A_2)P,\ B_1^m&=P^{-1}A_1^mP, \end{aligned} ]

其中m是正整数。

性质2：相似的矩阵其行列式的值相等。

性质3：相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；当他们可逆时，它们的你矩阵也相似。

性质4：相似的矩阵有相等的秩。

2、定义2：n级矩阵(A=(a_{ij}))的主对角线上元素的和称为A的 迹，记作 tr(A)。即

[tr(A)=a_{11}+a_{22+\dots+a_{nn}}\tag{2} ]

命题1：矩阵的迹具有下列性质：

[\begin{aligned} tr(A+B)&=tr(A)+tr(B),\ tr(kA)&=k\cdot tr(A),\ tr(AB)&=tr(BA). \end{aligned} ]

由此可见，矩阵的迹是从矩阵乘法的非交换性中提取的可交换的量。

性质5：相似的矩阵有相等的迹。

性质2、4、5表明：矩阵的行列式、秩、迹都是相似关系下的不变量，简称为 相似不变量。

3、如果n级矩阵A能够相似于一个对角矩阵，那么称A 可对角化。

定理1：数域K上n级矩阵可对角化的充分必要条件是，(K^n)中有n个线性无关的列向量(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)，以及K中有n个数(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)（它们之中有些可能相等），使得

[A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i,\qquad i=1,2,\dots,n.\tag{3} ]

这时，令(P=（\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n）)，则

[P^{-1}AP=diag{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n}.\tag{4} ]

1、定义1：设A是数域K上n级矩阵，如果(K^n)中有非零列向量(\alpha)，使得

[A\alpha=\lambda_0\alpha,且\lambda_0\in K, ]

那么称(\lambda_0)是A的一个 特征值，称向量(\alpha)是A的属于特征值(\lambda_0)的一个 特征向量。

如果(\alpha)是A的属于特征值(\lambda_0)的一个特征向量，那么显然，当(k\not=0时，k\alpha)也是A的属于特征值(\lambda_0)的一个特征向量。

注意：零向量不是A的特征向量。

[\begin{aligned} &\lambda_0是A的一个特征值，\alpha是A的属于\lambda_0的一个特征向量\ \iff&A\alpha=\lambda_0\alpha,\alpha\not=\bold 0,\lambda_0\in K\ \iff&(\lambda_0I-A)\alpha=\bold 0,\alpha\not=\bold 0,\lambda_0\in K\ \iff&\alpha 是齐次线性方程组(\lambda_0I-A)X=\bold 0的一个非零解，\lambda_0\in K\ \iff&|\lambda_0I-A|=0,\alpha 是(\lambda_0I-A)X=\bold 0的一个非零解，\lambda_0\in K\ \iff&\lambda_0是多项式|\lambda I-A|在K中的一个根，\alpha 是(\lambda_0I-A)X=\bold 0的一个非零解。 \end{aligned} ]

把(|\lambda I-A|)称为A的 特征多项式。

2、定理1：设A是数域K上n级矩阵，则

[\begin{aligned} &(1)\lambda_0 是A的一个特征值当且仅当\lambda_0是A的特征多项式|\lambda I-A|在K中的一个根；\ &(2)\alpha 是A的属于特征值\lambda_0的一个特征向量当且仅当\alpha是齐次线性方程组(\lambda_0I-A)X=\bold 0的一个非零解。 \end{aligned} ]

设(\lambda_0)是A的一个特征值，把齐次线性方程组((\lambda_0I-A)X=\bold 0)的解空间称为A的属于(\lambda_0)的 特征子空间，其中全部非零向量就是A的属于(\lambda_0)的全部特征向量。

相似矩阵性质：

性质1：相似的矩阵具有相等的特征多项式。

性质2：相似的矩阵有相同的特征值（包括重复特征值数量，简称重数相同）。

由性质1、2看出，矩阵的特征多项式和特征值都是相似不变量。

命题1：设A是数域K上n级矩阵，则A的特征多项式(|\lambda I-A|)是一个n次多项式，(\lambda^n)的系数是1，(\lambda^{n-1})的系数是等于-tr(A)，常数项为((-1)^n|A|，\lambda^{n-k})的系数为A的所有k阶主子式的和乘以((-1)^k,1\leqslant k

3、定义2：设A是数域K上n级矩阵，(\lambda_1)是A的一个特征值。把A的属于(\lambda_1)的特征子空间的维数叫做特征值(\lambda_1)的 几何重数，而把(\lambda_1)作为作为A的特征多项式的根的重数叫做(\lambda_1)的 代数重数，把代数重数简称为重数。

命题2：设(\lambda_1)是数域K上n级矩阵A的一个特征值，则(\lambda_1)的几何重数不超过它的代数重数。

1、定理1：数域K上n级矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)，此时

[\begin{aligned} &令&P&=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n),\ &则&P^{-1}AP&=diag{\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n }, \end{aligned} ]

其中(\lambda_i)是(\alpha_i)所属的特征值，(i=1,2,\dots,n)。上述对角矩阵称为A 的 相似标准形，除了主对角线上元素的排列次序外，A的相似标准形是唯一的。

2、定理2：设(\lambda_1,\lambda_2)是数域K上n级矩阵A的不同的特征值，(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s与\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r)分别是A的属于(\lambda_1,\lambda_2)的线性无关的特征向量，则(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_r)线性无关。

3、定理3：设(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_m)是数域K上n级矩阵A的不同的特征值，(\alpha_{j1},\dots,\alpha_{jr_j})是A的属于(\lambda_j)的线性无关的特征向量，(j=1,2,\dots,m)。则向量组

[\alpha_{11},\dots,\alpha_{ar_1},\dots\dots,\alpha_{m1},\dots,\alpha_{mr_m} ]

线性无关。

推论1：n级矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

4、定理4：数域K上n级矩阵A可对角化的充分必要条件是：A的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n。

推论2：数域K上n级矩阵A如果有n个不同的特征值，那么A可对角化。

5、定理5：数域K上n级矩阵A可对角化的充分必要条件是：A的特征多项式的全部复根都属于K，并且A的每个特征值的几何重数等于它的代数重数。

1、定义1：实数域上的矩阵简称为实对称矩阵。

定理1：实对称矩阵的特征多项式的每一个复根都是实数，从而它们都是特征值。

2、定理2：实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的。

3、定义2：如果对于n级实矩阵A、B，存在一个n级正交矩阵T，使得(T^{-1}AT=B)，那么称A 正交相似于B。

定理3：实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵。

命题1：如果n级实矩阵A正交相似于一个对角矩阵D，那么A一定是对称矩阵。

命题2：两个n级实对称矩阵正交相似的充分必要条件是它们相似。

Original: https://www.cnblogs.com/hs3434/p/16167699.html
Author: hs3434
Title: 高等代数：5 矩阵的相抵与相似