[数据结构-平衡树]普通 FHQ_Treap从入门到精通(注释比代码多系列)

芝士前置

知识名 内容

一颗每个节点的左儿子val都比自己小,右儿子val都比自己大的树 Treap 堆和平衡树的结合(Tree+Heap),其中的pri变量满足堆的性质(父亲的比自己大),val变量满足平衡树的性质

芝士引入

struct FHQ_Node
{
    int sze, val, pri;
    int lc, rc;
    FHQ_Node()
    {
        sze = 1; //注意0号节点不能这样
        pri = rand();
    }
} FHQ_Tree[N];

FHQ_Treap不同于传统Treap，FHQ_Treap是基于以下两个基本操作 分裂， 合并，而不是旋转。所以也有叫 无旋Treap。

基本思路很简单

操作 含义 分裂 把一个树按一个界限分裂，通常是按val值分裂。小于val的节点放一颗树，大于val的节点放另一棵树。 合并 把两个树合并，通常情况下合并的两树有严格的大小关系（一般是A树的每个节点值，均小于B树）。

分裂操作是基于递归实现的。

分裂过程接受两个参数：根指针(u)​ 、关键值(key)​ 。结果为将根指针指向的 treap 分裂为两个 treap，第一个 treap 所有结点的关键值小于$key (​，第二个 treap 所有结点的关键值大于等于)key (​。该过程首先判断)key$​ 是否大于 (u)​的关键值，若大于，则说明 (u)​及其左子树全部属于第一个 treap(当然也有一部分右子树属于,一部分不属于,所以需要递归进去)，否则说明(u)​及其右子树全部属于第二个 treap(同理,也需要递归进去)。根据此判断决定应向左子树递归还是应向右子树递归，继续分裂子树。待子树分裂完成后按刚刚的判断情况连接 的左子树或右子树到递归分裂所得的子树中。

pair split(int u, int _key)
{
    if (u == 0)
        return make_pair(0, 0); //如果我是个空节点，那我就算分割后的节点也是空的
    if (FHQ_Tree[u].val < _key) //当前节点小于临界key，右儿子比我大，说不定有比key大（或者等于）的，左儿子比我小，一定不可能大于等于key了
    {
        pair ret = split(FHQ_Tree[u].rc, _key); //但是右儿子里可能有比我大的（甚至是大于key）
        FHQ_Tree[u].rc = ret.first;                       //没有key的那作为的的新右儿子，随我一起被切出去
        updata(u);                                        //我被切了，需要维护一下大小信息
        return make_pair(u, ret.second);                  //我属于小于key的部分，而被切除了小于key节点的右儿子当然就完全都是大于等于key了
    }
    else //当前节点大于等于临界key，右儿子比我还大，肯定是也大于key的，不用管。
    {
        pair ret = split(FHQ_Tree[u].lc, _key); //同理左儿子也有可能小于我的（甚至是小于key）
        FHQ_Tree[u].lc = ret.second;                      //比大于等于key的作为我的新左儿子，和我一起走
        updata(u);                                        //我被切了，需要维护一下大小信息
        return make_pair(ret.first, u);                   //我清除掉了小于key的子树，这部分小于key，而和我在一起的都要比key大
    }
}

合并操作也是基于递归的

合并过程接受两个参数：左 treap 的根指针(x) 、右 treap (y)的根指针 。必须满足(u)中所有结点的关键值小于(y)中所有结点的关键值。因为两个 treap 已经有序，我们只需要考虑(pri)​来决定哪个 treap 应与另一个 treap 的儿子合并。若(x)的根结点的(pri)大于(y)的，那么 即为新根结点，(y)应与(x)的右子树合并；反之，则(y)作为新根结点，然后让(x)与(y)的左子树合并。不难发现，这样合并所得的树依然满足(pri)的大根堆性质。

int merge(int x, int y) //把x和y拼在一起(前提是x里所有节点都要比y所有节点小)
{
    if (!x || !y) //如果其中有一个节点是空的，那就别合并了，直接返回非空的那个就好了
        return x + y;
    if (FHQ_Tree[x].pri > FHQ_Tree[y].pri) //采用大根堆，x现在应该在y上面
    {
        //由于x都比y小，那么y只能挂在x的右儿子上
        //                      x全部小于y,这里顺序别搞错了
        FHQ_Tree[x].rc = merge(FHQ_Tree[x].rc, y); //考虑到x原本可能就有右儿子，先把x的右儿子和y拼在一起再说
        updata(x);                                 //y挂在了我身上，我肯定变大了，需要维护一些大小信息
        return x;                                  //y在我下面，我才是这棵树的老大
    }
    else //现在x应该在y下面了
    {
        //由于x都比y小，那么y只能考虑挂在y的左儿子上
        //                      x全部小于y,这里顺序别搞错了
        FHQ_Tree[y].lc = merge(x, FHQ_Tree[y].lc); //考虑到y原本可能就有左儿子，先把x和y的左儿子拼在一起再说
        updata(y);                                 //x挂在了我身上，我肯定变大了，需要维护一些大小信息
        return y;                                  //x在我下面，我才是这棵树的老大
    }
}

先在待插入的关键值处将整棵 treap 分裂，判断关键值是否已插入过之后新建一个结点，包含待插入的关键值，然后进行两次合并操作即可。

void ins(int _val) //插入一个点
{
    FHQ_Tree[++p].val = _val;               //先是创建一个这个样的节点
    pair ret = split(root, _val); //以val为分界线,把这棵树分裂成两部分
    //现在我们尝试把这个新节点插入到树里
    int _new = merge(ret.first, p); //上文说道，split返回的第一个树的每个节点一定比val小,这个时候就可以把这个比val小的树和新的那个节点合并了
    root = merge(_new, ret.second); //由于新加入的节点的优先级我们是未知的,有可能比原来的根节点大,导致在原来根节点上面,发生换根
}

将具有待删除的关键值的结点从整棵 treap 中孤立出来（进行两侧分裂操作），删除中间的一段（具有待删除关键值），再将左右两端合并即可。

void del(int _val) //删除一个
{
    pair ret = split(root, _val);            //按val为分界线,现在含有val的树一定是ret.second了;
    pair ret2 = split(ret.second, _val + 1); //再把ret.second里的节点再分一遍,现在ret2.first里的节点一定全是数为val的点
    //通常情况下,我们只删除一个节点
    int _new = merge(FHQ_Tree[ret2.first].lc, FHQ_Tree[ret2.first].rc); //左儿子和右边儿子合并,其实是其中一个优先级较大的,跑出来当爹,原来的父亲就会被孤立
    root = merge(merge(ret.first, _new), ret2.second);                  //同样的,我们删除的有可能就是原来的根,导致发生换根
}

把一个树按分为小于(val)的，和大于等于(val)的，(val)的排名自然就是小于(val)的节点的数量+1了

int getrank(int _val) //获取排名
{
    pair ret = split(root, _val); //以val为分界线,这样ret.first里的东西都要比val小
    int rank = FHQ_Tree[ret.first].sze + 1; //比val小的树节点全在里面,val的排名自然就是他们的数量+1了
    root = merge(ret.first, ret.second);    //别忘了把原来拆分的树合起来
    return rank;
}

和二叉搜索树一样，不再赘述。

int getnum(int _rank) //通过排名取出这个数来,返回节点的编号
{
    int now = root; //同平衡二叉树的方法一样,从根节点向下找
    while (now)
    {
        //now的左节点全是比now小的,所以比now小的数量加上1(now自己),如果正好是我们要求的点的排名,那么now就是我们要的点了
        if (FHQ_Tree[FHQ_Tree[now].lc].sze + 1 == _rank)
            break;
        else if (FHQ_Tree[FHQ_Tree[now].lc].sze >= _rank) //同理,如果比now小的数的数量大于等于我们的rank,那么排名为rand的数必须要更小,只能在now的左子树上
            now = FHQ_Tree[now].lc;
        else //rank的位置在now的后面,说明rank的数要比now还大,我们就要去右节点找
        {
            _rank -= FHQ_Tree[FHQ_Tree[now].lc].sze + 1; //由于我们要找到节点在now右节点上,右节点的排名是相对于now的排名,所以我们需要把now的排名减掉
            now = FHQ_Tree[now].rc;
        }
    }
    return now;
}

用把原来的二叉树分裂开，一部分全是小于(val)的，另一部分全是大于等于(val)。而前驱就是前一个二叉树里最大的，用二叉搜索树的性质就能得到。

int pre(int _val) //求前驱,返回节点的值
{
    pair ret = split(root, _val); //以val为分界线分裂
    int now = ret.first;                    //ret.first的数值都比val小
    while (FHQ_Tree[now].rc)                //找比val小的数里最大的,就是前驱了
        now = FHQ_Tree[now].rc;
    int ans = FHQ_Tree[now].val;
    root = merge(ret.first, ret.second); //别忘了把他俩合并了
    return ans;
}

int nxt(int _val) //求后继,返回节点的值
{
    pair ret = split(root, _val + 1); //以val+1为分界线分裂,所有比val大的数全在ret.second里
    int now = ret.second;                       //在比val的数里找
    while (FHQ_Tree[now].lc)                    //找比val大的数里最小了的,就是后继了
        now = FHQ_Tree[now].lc;
    int ans = FHQ_Tree[now].val;
    root = merge(ret.first, ret.second); //别忘了把他俩合并了
    return ans;
}

int main()
{
    FHQ_Tree[0].sze = 0; //0号节点作为溢出点,不能有大小

    int n;
    cin >> n;
    while (n--)
    {
        int opt, val;
        cin >> opt >> val;
        switch (opt)
        {
        case 1:
            ins(val);
            break;
        case 2:
            del(val);
            break;
        case 3:
            cout << getrank(val) << endl;
            break;
        case 4:
            cout << FHQ_Tree[getnum(val)].val << endl;
            break;
        case 5:
            cout << pre(val) << endl;
            break;
        case 6:
            cout << nxt(val) << endl;
            break;
        }
    }
    return 0;
}

如果未来有时间我将会出一个支持序列的FHQTreap教程。

Original: https://www.cnblogs.com/Icys/p/FHQTreap.html
Author: Icys
Title: [数据结构-平衡树]普通 FHQ_Treap从入门到精通(注释比代码多系列)