总共有十个定理，其中四个和函数有关，五个和导函数有关，剩下一个是积分中值定理。
当(f(x))在闭区间(\lbrack a,b\rbrack)上连续时，(\exists m,M \in \mathbb{R}, \ s.t. \ m \leq f(x) \leq M)。
(m)和(M)分别为(f(x))在(\lbrack a,b\rbrack)上的最小和最大值。
当(f(x))在闭区间(\lbrack a,b\rbrack)上连续时，(\forall\mu \in \lbrack m,M\rbrack,\ \exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ f(\xi) = \mu)。
这个定理比较少被介绍。
(f(x))在闭区间(\lbrack a,b\rbrack)上连续，(a_{1} < x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n} < b)时，
[\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ \ s.t.\ \ f(\xi) = \frac{f\left( x_{1} \right) + f\left( x_{2} \right) + \ldots + f\left( x_{n} \right)}{n} ]
这个定理很容易联想到介值定理，因此我们只需要证明平均值在函数的值域内即可。平均值的特点就是介于最大和最小之间，所以平均值就是一个介值，证毕。
(f(x))在闭区间(\lbrack a,b\rbrack)上连续， (f(a) \times f(b) < 0)时，(\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ f(\xi) = 0)。
若(f(x))在(x_{0})处可导，且取极值，那么有(f^{‘}\left( x_{0} \right) = 0)
证明：
可导的意思是(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) – f\left( x_{0} \right)}{x – x_{0}} = A)
以极大值为例，取极大值的意思是，在(x_{0})的去心领域内，(f(x) < f\left( x_{0} \right))
那么在(x_{0})的两侧，(\frac{f(x) – f\left( x_{0} \right)}{x – x_{0}})异号，由夹逼定理，可以得到(A = 0)。
在闭区间 (\lbrack a,b\rbrack)上的连续函数(f(x)) ，在开区间(\ (a,b))上可导，且(\ f(a) = f(b)) ，那么 (\exists\xi \in (a,b)) ，使得(\ f^{‘}(\xi) = 0)。
罗尔定理用费马定理证明。
费马定理说极值的导数是0，那么就是要证明，(f(a) = f(b))时，在((a,b))内有极值。这就简单了，因为((a,b))内的值，要么全部都等于(f(a))，要么就至少存在一个点不等于(f(a))。这样使用最值定理，再使用费马定理。
在闭区间 (\lbrack a,b\rbrack)上的连续函数(f(x)) ，在开区间(\ (a,b))上可导。
[\exists\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ \ s\text{.t.\ }f^{‘}(\xi) = \frac{f(a) – f(b)}{a – b} ]
怎么证明呢？如果要用到罗尔定理，那么我们就要构造一个函数g，有(g(a) = g(b))，然后有(g^{‘}(\xi) = 0)，这个就是结论。
把(g^{‘}(\xi) = 0)和我们要证明的结论(f^{‘}(\xi) = \frac{f(a) – f(b)}{a – b})联系起来，很自然地想到
[g^{‘}(\xi) = f^{‘}(\xi) – \frac{f(a) – f(b)}{a – b} = 0 ]
这样反着推回去，(g(x) = f(x) – \frac{f(a) – f(b)}{a – b}x)就证明了。
(f)和(g)在闭区间(\lbrack a,b\rbrack)内连续，开区间(\lbrack a,\ b\rbrack)内可导，且(g^{‘}(x) \neq 0)，则
[\frac{f(a) – f(b)}{g(a) – g(b)} = \frac{f^{‘}(\xi)}{g^{‘}(\xi)} ]
联想到泰勒定理的证明，或许我们会想着构造一个函数(h)，使得(h^{‘} = \left( \frac{f}{g} \right)^{‘})
但是这样太难了。
除法对于积分来说，是一个棘手的存在，所以，我们考虑把要证明的结论做一个变形，因为除法很难，不妨考虑做乘法，有
[\left( g(a) – g(b) \right)f^{‘}(\xi) – \left( f(a) – f(b) \right)g^{‘}(\xi) = 0 ]
这样，构造函数
[h(x) = \left( g(a) – g(b) \right)f(x) – \left( f(a) – f(b) \right)g(x) ]
观察到
[h(a) = f(b)g(a) – f(a)g(b) = h(b) ]
是的，就是这么巧。
柯西中值定理的几何意义，就是直角坐标系下一条曲线对应的参数方程：
[\left{ \begin{matrix} y = f(t) \ x = g(t) \ \end{matrix} \right.\ ]
曲线上两点连线，总是能在两点之间找到一个点的切线，和两点连线斜率相等。
设(f(x))在点(x_{0})处n+1阶导数存在，则对该邻域内的任何点x，(\exists\xi \in (x,\ x_{0}))，使得
[f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x – x_{0} \right)^{k}}{k!}\ + \frac{f^{(k + 1)}(\xi)\left( x – x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!} ]
要证明这个定理，考虑把公式变成上面的形式，
[g(x) = f(x) – \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x – x_{0} \right)^{k}}{k!} ]
[h(x) = \frac{\left( x – x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!} ]
[\frac{g}{h} = f^{n + 1}(\xi) ]
你说这玩意像个啥？
像泰勒，不是，下面得有区间长度
像柯西，求导一次也得不出
神秘的数字”0″
[\frac{g(x) – g\left( x_{0} \right)}{h(x) – h\left( x_{0} \right)} = \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g^{‘}\left( \xi_{1} \right)}{h^{‘}\left( \xi_{1} \right)} ]
[= \frac{f^{(1)}\left( \xi_{1} \right) – \sum_{k = 1}^{n}\frac{f^{k}\left( x_{0} \right)\left( \xi_{1} – x_{0} \right)^{k – 1}}{(k – 1)!}}{\frac{\left( \xi_{1} – x_{0} \right)^{n}}{n!}} = \frac{g^{‘}\left( \xi_{1} \right) – g^{‘}\left( x_{0} \right)}{h^{‘}\left( \xi_{1} \right) – h^{‘}\left( x_{0} \right)} ]
再使用n-1次柯西和一次泰勒
[= \frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right) – f^{(n)}\left( x_{0} \right)}{\xi_{n} – x_{0}} ]
[= f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right) ]
这个证明我也想不到，你能想到泰勒展开和柯西中值定理的联系吗？
对于这种无穷递推的方法，我首先想到的是归纳
已知：
[f(x) = \sum_{k = 0}^{n – 1}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x – x_{0} \right)^{k}}{k!} + \frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right)\left( x – x_{0} \right)^{n}}{n!},\ \ \xi_{n} \in U_{0}\left( x_{0},\delta \right) ]
欲证明
[f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}\left( x_{0} \right)\left( x – x_{0} \right)^{k}}{k!} + \frac{f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right)\left( x – x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!},\ \ \xi_{n + 1} \in U_{0}\left( x_{0},\delta \right) ]
等价于证明：
[\frac{f^{(n)}\left( \xi_{n} \right)\left( x – x_{0} \right)^{n}}{n!} = \frac{f^{(n)}\left( x_{0} \right)\left( x – x_{0} \right)^{n}}{n!} + \frac{f^{(n + 1)}\left( \xi_{n + 1} \right)\left( x – x_{0} \right)^{n + 1}}{(n + 1)!} ]
此路不通，拉倒。
(f(x))在(\lbrack a,b\rbrack)上连续，存在(\xi \in \lbrack a,b\rbrack,\ s.t.\ \int_{a}^{b}{f(x)dx} = f(\xi)(b – a))
通过介值定理容易证明。
通过泰勒中值定理，构造函数(F(x) = \int_{a}^{x}{f(x)dx})，可证明(\xi \in (a,b))。
经常出证明题，参考张宇老师的教学
一般来说，经常需要构造函数。
对于神秘的数字0，还有二阶导及以上的导数，可以考虑使用泰勒展开。
对于积分，要么使用积分中值定理，要么就是对一个等式两边使用积分。
Original: https://www.cnblogs.com/ticlab/p/16608972.html
Author: ticlab
Title: 中值定理笔记
原创文章受到原创版权保护。转载请注明出处：https://www.johngo689.com/579394/
转载文章受原作者版权保护。转载请注明原作者出处！