1 超平面 Hyperplanes
定义：超平面是一个形式为({x|a^Tx=b})的集合，其中(a\in \mathbb{R}^n, a \neq 0, b\in \mathbb{R})。
分析上讲，超平面是线性方程的非零解集；几何上讲，超平面是与向量(a)具有恒定内积的点集，或具有法向量(a)的超平面，常数(b)决定了超平面与原点的偏移量。
图1. (\mathbb{R}^2)中的超平面，法向量为(a)，点(x_0)在超平面内。在超平面中的任意一点(x)，(x-x_0)（图中加粗的向量）与(a)正交。
超平面也可表示为({x|a^T(x-x_0)=0})，其中(x_0)是超平面中的任意一点；
也可表示为({x|a^T(x-x_0)=0}=x_0+a^\perp)，其中(a^\perp)表示(a)的正交补集。可以看出，超平面由偏移量(x_0)和与法向量(a)正交的全部向量组成，如图1。
2 半空间 Halfspaces
上述的超平面能够将(\mathbb{R}^n)划分成两个 半空间，半空间是一个形式为({x|a^Tx \leq b})的集合，其中(a\neq 0)，也是一个线性不等式的非零解集。
半空间是凸集，不是仿射集，如图2。
图2. 超平面(a^Tx=b) 将(\mathbb{R}^n)划分成两个半空间。由(a^T x \geq b) 确定的半空间(未加阴影)是沿(a)方向延伸的。 由(a^T x \leq b) 确定的半空间(阴影部分)在(-a)方向上延伸的。向量(a)是这个半空间的外法线。
半空间也可表示为({x|a^T(x-x_0)\leq0})，其中(x_0)是对应的超平面上的任意点，即满足(a^T x_0 = b)。
对此的几何解释为：半空间由(x_0)和任何与向量(a)((a)为向外的法向量)成钝角或直角的向量组成。如图3。
图3. 由(a^T(x-x_0)\leq0)定义的半空间（阴影部分）：向量(x_1 – x_0)与(a)成锐角，因此(x_1)不在半空间中。 向量 (x_2 – x_0) 与 (a) 成钝角，在半空间中。
集合({x|a^Tx
3 欧式球 Euclidean Balls
在(\mathbb{R}^n) 空间中的 球/欧几里得球的形式为：
[B(x_c,r)={x|\; ||x-x_c||_2 \leq r}={x|\; (x-x_c)^T(x-x_c)\leq r^2} ]
其中(r>0)，(||\cdot||_2)为欧几里德范数（即(L_2)范数），(x_c)是球的中心，标量(r)为半径，(B(x_c,r))由距中心(x_c)距离小于等于(r)的所有点组成，即球表面和球内部。
球的另一种表示形式为：
[B(x_c,r)={x_c + ru|\; ||u||_2 \leq 1} ]
球是一个凸集，证明如下：
球内（这里的球内指在球内部或球表面，并非单指内部）任取两点(x_1, x_2)，根据性质可知(||x_1-x_c||_2 \leq r) 和 (||x_2-x_c||_2 \leq r)，假设 (\theta \in [0,1])，则根据凸集的定义，我们想要知道线段(\theta x_1 + (1-\theta) x_2) 是否在球内：
[||\theta x_1 + (1-\theta) x_2 – x_c||_2 = ||\theta(x_1-x_c) + (1-\theta) (x_2-x_c)||_2 \ \leq \theta||x_1-x_c||_2 + (1-\theta) ||x_2-x_c||_2 \leq r]
4 椭球 Ellipsoids
另一个凸集类的集合为 椭球，其形式为：
[\varepsilon = {x|(x-x_c)^T P^{-1}(x-x_c)\leq 1} ]
其中(P=P^T\succ 0)，即(P)为对称且正定的矩阵(正定：对任意(x\neq 0)，有 (x^T P x>0))。同样的，(x_c\in \mathbb{R}^n) 为椭球的中心，(P) 决定了椭球在每个方向上从(x_c)延伸多远，(\varepsilon)的半轴长度由(P)的特征值(\sqrt{\lambda_i})给出。
当(P=r^2 I)时，上述公式的椭球就是球。
图4. 二维空间中的椭球（也是椭圆），(x_c)为中心，两个线段为半轴。
椭球的另一个表达式为：
[\varepsilon ={x_c + A\mu| \; ||\mu||_2\leq 1} ]
其中(A)是非奇异的方阵。这个公式中的集合称为退化椭球（degenerate ellipsoids），它的仿射维数等于(A)的秩，退化椭球也是凸的。
5 范数球 Norm Balls
当将欧氏球公式中的二范数（(||\cdot||_2)）换成(\mathbb{R}^n)上的任意范数（(||\cdot||)），此时的集合称为 范数球：
[B(x_c,r)={x|\; ||x-x_c||\leq r} ]
同样的，(r)为半径，(x_c)为中心，范数球为凸集。
6 范数锥 Norm Cones
范数锥的公式为：
[C={(x,t)|\; ||x||\leq t} ]
其中，(x\in \mathbb{R}^n)，(t)，故(C \subseteq \mathbb{R}^{n+1})，且为凸锥。
图5. (\mathbb{R}^2)中的二阶锥（取二范数）的边界。
Original: https://www.cnblogs.com/setdong/p/16333883.html
Author: 李斯赛特
Title: 【凸优化】2 超平面，半空间，欧氏球，椭球，范数球，范数锥
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