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并查集 size 的优化
按照上一篇文章的思路,我们把如下图所示的并查集,进行 union(4,9) 操作。
合并操作后的结构为:
可以发现,这个结构的树的层相对较高,若此时元素数量增多,这样产生的消耗就会相对较大。解决这个问题其实很简单,在进行具体指向操作的时候先进行判断,把元素少的集合根节点指向元素多的根节点,能更高概率的生成一个层数比较低的树。
构造并查集的时候需要多一个参数, sz 数组, sz[i] 表示以 i 为根的集合中元素个数。
// 构造函数
public UnionFind3(int count){
parent = new int[count];
sz = new int[count];
this.count = count;
// 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
parent[i] = i;
sz[i] = 1;
}
}
在进行合并操作时候,根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向。
public void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
if( sz[pRoot] < sz[qRoot] ){
parent[pRoot] = qRoot;
sz[qRoot] += sz[pRoot];
}
else{
parent[qRoot] = pRoot;
sz[pRoot] += sz[qRoot];
}
}
优化后,合并结果如下,9 指向父节点 8。
Java 实例代码
UnionFind3.java
/**
* 并查集size的优化
*/
public class UnionFind3 {
// parent[i]表示第一个元素所指向的父节点
private int[] parent;
// sz[i]表示以i为根的集合中元素个数
private int[] sz;
// 数据个数
private int count;
// 构造函数
public UnionFind3(int count){
parent = new int[count];
sz = new int[count];
this.count = count;
// 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
parent[i] = i;
sz[i] = 1;
}
}
// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
private int find(int p){
assert( p >= 0 && p < count );
// 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
// 根节点的特点: parent[p] == p
while( p != parent[p] )
p = parent[p];
return p;
}
// 查看元素p和元素q是否所属一个集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
public boolean isConnected( int p , int q ){
return find(p) == find(q);
}
// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
public void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
// 根据两个元素所在树的元素个数不同判断合并方向
// 将元素个数少的集合合并到元素个数多的集合上
if( sz[pRoot] < sz[qRoot] ){
parent[pRoot] = qRoot;
sz[qRoot] += sz[pRoot];
}
else{
parent[qRoot] = pRoot;
sz[pRoot] += sz[qRoot];
}
}
}
并查集 rank 的优化
上面介绍了并查集基于 size 的优化,但是某些场景下,也会存在某些问题,如下图所示,操作 union(4,2)。
根据上一篇文章,size 的优化,元素少的集合根节点指向元素多的根节点。操完后,层数变为4,比之前增多了一层,如下图所示:
由此可知,依靠集合的 size 判断指向并不是完全正确的,更准确的是,根据两个集合层数,具体判断根节点的指向,层数少的集合根节点指向层数多的集合根节点,如下图所示,这就是基于 rank 的优化。
我们在并查集的属性中,添加 rank 数组,rank[i] 表示以 i 为根的集合所表示的树的层数。
…
private int[] rank; // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数
private int[] parent; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
private int count; // 数据个数
…
构造函数相应作出修改:
…
// 构造函数
public UnionFind4(int count){
rank = new int[count];
parent = new int[count];
this.count = count;
// 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
parent[i] = i;
rank[i] = 1;
}
}
…
合并两元素的时候,需要比较根节点集合的层数,整个过程是 O(h)复杂度,h为树的高度。
…
public void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
if( rank[pRoot] < rank[qRoot] ){
parent[pRoot] = qRoot;
}
else if( rank[qRoot] < rank[pRoot]){
parent[qRoot] = pRoot;
}
else{ // rank[pRoot] == rank[qRoot]
parent[pRoot] = qRoot;
rank[qRoot] += 1; // 此时, 我维护rank的值
}
}
…
Java 实例代码
UnionFind4.java
/**
* 基于rank的优化
*/
public class UnionFind4 {
private int[] rank; // rank[i]表示以i为根的集合所表示的树的层数
private int[] parent; // parent[i]表示第i个元素所指向的父节点
private int count; // 数据个数
// 构造函数
public UnionFind4(int count){
rank = new int[count];
parent = new int[count];
this.count = count;
// 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
for( int i = 0 ; i < count ; i ++ ){
parent[i] = i;
rank[i] = 1;
}
}
// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
private int find(int p){
assert( p >= 0 && p < count );
// 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
// 根节点的特点: parent[p] == p
while( p != parent[p] )
p = parent[p];
return p;
}
// 查看元素p和元素q是否所属一个集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
public boolean isConnected( int p , int q ){
return find(p) == find(q);
}
// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
public void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
if( rank[pRoot] < rank[qRoot] ){
parent[pRoot] = qRoot;
}
else if( rank[qRoot] < rank[pRoot]){
parent[qRoot] = pRoot;
}
else{ // rank[pRoot] == rank[qRoot]
parent[pRoot] = qRoot;
rank[qRoot] += 1; // 维护rank的值
}
}
}
Original: https://www.cnblogs.com/siwuxiebuff/p/16208535.html
Author: 思无邪buff
Title: 并查集size rank的优化
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