并查集基础
一、概念及其介绍
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。
并查集的思想是用一个数组表示了整片森林（parent），树的根节点唯一标识了一个集合，我们只要找到了某个元素的的树根，就能确定它在哪个集合里。
二、适用说明
并查集用在一些有 N 个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这个过程看似并不复杂，但数据量极大，若用其他的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受，也无法在短时间内计算出结果，所以只能用并查集来处理。
三、并查集的基本数据表示
如上图 0-4 下面都是 0， 5-9 下面都是 1，表示 0、1、2、3、4 这五个元素是相连接的， 5、6、7、8、9 这五个元素是相连的。
再如上图 0、2、4、6、8 下面都是 0 这个集合，表示 0、2、4、6、8 这五个元素是相连接的， 1、3、5、7、9 下面都是 1 这个集合，表示 0，1、3、5、7、9 这五个元素是相连的。
构造一个类 UnionFind，初始化, 每一个id[i]指向自己, 没有合并的元素：
…
public UnionFind1(int n) {
count = n;
id = new int[n];
// 初始化, 每一个id[i]指向自己, 没有合并的元素
for (int i = 0; i < n; i++)
id[i] = i;
}
…
Java 实例代码
UnionFond.java
public class UnionFind{
private int[] id;
// 数据个数
private int count;
public UnionFind1(int n) {
count = n;
id = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
id[i] = i;
}
}
并查集快速查找
本小节基于上一小节并查集的结构介绍基础操作，查询和合并和判断是否连接。
查询元素所在的集合编号，直接返回 id 数组值， O(1) 的时间复杂度。
…
private int find(int p) {
assert p >= 0 && p < count;
return id[p];
}
…
合并元素 p 和元素 q 所属的集合， 合并过程需要遍历一遍所有元素, 再将两个元素的所属集合编号合并，这个过程是 O(n) 复杂度。
…
public void unionElements(int p, int q) {
int pID = find(p);
int qID = find(q);
if (pID == qID)
return;
for (int i = 0; i < count; i++)
if (id[i] == pID)
id[i] = qID;
}
…
Java 实例代码
UnionFond1.java
/**
* 第一版union-Find
*/
public class UnionFind1 {
// 我们的第一版Union-Find本质就是一个数组
private int[] id;
// 数据个数
private int count;
public UnionFind1(int n) {
count = n;
id = new int[n];
// 初始化, 每一个id[i]指向自己, 没有合并的元素
for (int i = 0; i < n; i++)
id[i] = i;
}
// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
private int find(int p) {
assert p >= 0 && p < count;
return id[p];
}
// 查看元素p和元素q是否所属一个集合
// O(1)复杂度
public boolean isConnected(int p, int q) {
return find(p) == find(q);
}
// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(n) 复杂度
public void unionElements(int p, int q) {
int pID = find(p);
int qID = find(q);
if (pID == qID)
return;
// 合并过程需要遍历一遍所有元素, 将两个元素的所属集合编号合并
for (int i = 0; i < count; i++)
if (id[i] == pID)
id[i] = qID;
}
}
并查集快速合并
对于一组数据，并查集主要支持两个动作：
- union(p,q) – 将 p 和 q 两个元素连接起来。
- find(p) – 查询 p 元素在哪个集合中。
- isConnected(p,q) – 查看 p 和 q 两个元素是否相连接在一起。
在上一小节中，我们用 id 数组的形式表示并查集，实际操作过程中查找的时间复杂度为 O(1)，但连接效率并不高。
本小节，我们将用另外一种方式实现并查集。把每一个元素，看做是一个节点并且指向自己的父节点，根节点指向自己。如下图所示，节点 3 指向节点 2，代表 3 和 2 是连接在一起的，节点2本身是根节点，所以指向自己。
同样用数组表示并查集，但是下面一组元素用 parent 表示当前元素指向的父节点，每个元素指向自己，都是独立的。
如果此时操作 union(4,3)，将元素 4 指向元素 3：
数组也进行相应改变：
判断两个元素是否连接，只需要判断根节点是否相同即可。
如下图，节点 4 和节点 9 的根节点都是 8，所以它们是相连的。
连接两个元素，只需要找到它们对应的根节点，使根节点相连，那它们就是相连的节点。
假设要使上图中的 6 和 4 相连，只需要把 6 的根节点 5 指向 4 的根节点 8 即可。
构建这种指向父节点的树形结构， 使用一个数组构建一棵指向父节点的树，parent[i] 表示 i 元素所指向的父节点。
…
private int[] parent;
private int count; // 数据个数
…
查找过程, 查找元素 p 所对应的集合编号，不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点，根节点的特点 parent[p] == p，O(h) 复杂度, h 为树的高度。
…
private int find(int p){
assert( p >= 0 && p < count );
while( p != parent[p] )
p = parent[p];
return p;
}
…
合并元素 p 和元素 q 所属的集合，分别查询两个元素的根节点，使其中一个根节点指向另外一个根节点，两个集合就合并了。这个操作是 O(h) 的时间复杂度，h 为树的高度。
public void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
parent[pRoot] = qRoot;
}
Java 实例代码
UnionFond2.java
/**
* 第二版unionFind
*/
public class UnionFind2 {
// 我们的第二版Union-Find, 使用一个数组构建一棵指向父节点的树
// parent[i]表示第一个元素所指向的父节点
private int[] parent;
private int count; // 数据个数
// 构造函数
public UnionFind2(int count){
parent = new int[count];
this.count = count;
// 初始化, 每一个parent[i]指向自己, 表示每一个元素自己自成一个集合
for( int i = 0 ; i < count ; i ++ )
parent[i] = i;
}
// 查找过程, 查找元素p所对应的集合编号
// O(h)复杂度, h为树的高度
private int find(int p){
assert( p >= 0 && p < count );
// 不断去查询自己的父亲节点, 直到到达根节点
// 根节点的特点: parent[p] == p
while( p != parent[p] )
p = parent[p];
return p;
}
// 查看元素p和元素q是否所属一个集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
public boolean isConnected( int p , int q ){
return find(p) == find(q);
}
// 合并元素p和元素q所属的集合
// O(h)复杂度, h为树的高度
public void unionElements(int p, int q){
int pRoot = find(p);
int qRoot = find(q);
if( pRoot == qRoot )
return;
parent[pRoot] = qRoot;
}
}
Original: https://www.cnblogs.com/siwuxiebuff/p/16208534.html
Author: 思无邪buff
Title: 并查集快速查找,快速合并
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