【题解笔记】PTA基础6-10：阶乘计算升级版

题目地址：https://pintia.cn/problem-sets/14/problems/742

前言

咱目前还只能说是个小白，写题解是为了后面自己能够回顾。如果有哪些写错的/能优化的地方，也请各位多指教。( •̀ ω •́ )

题目描述

本题要求实现一个打印非负整数阶乘的函数，要求能处理 一定大数值的阶乘。

展开查看详情

函数接口定义

void Print_Factorial ( const int N );

其中 N是用户传入的参数，其值 不超过1000。如果 N是非负整数，则该函数必须在一行中打印出N!的值，否则打印 "Invalid input"。

裁判测试程序样例

#include

void Print_Factorial ( const int N );

int main()
{
    int N;

    scanf("%d", &N);
    Print_Factorial(N);
    return 0;
}

/* 你的代码将被嵌在这里 */

输入样例

15

输出样例

1307674368000

限制

限制内容 限制条件 代码长度限制 16 KB 时间限制 400 ms 空间限制 64 MB

想法

怎么储存如此之大的阶乘结果

不看不知道，细看吓一跳，题目中对 N的限制是 0<=n<=1000< code>&#xFF0C;&#x5F97;&#x60F3;&#x4E2A;&#x529E;&#x6CD5;&#x8BA9;&#x7A0B;&#x5E8F;&#x50A8;&#x5B58;<code>1000!</code>&#x8FD9;&#x4E48;&#x5927;&#x7684;&#x4E00;&#x4E2A;&#x6570;&#x3002;<!--=n<=1000<-->

扫视了一圈C语言的基本数据类型，就连 unsigned long long类型也远存不下1000的阶乘。

转换一下思路。数字每一位之间都是紧挨在一起的，我们其实可以采用一种连续的数据结构来储存这个结果，比如….数组！

设数组 第一个元素表示个位， 第二个元素表示十位…以此类推。这样一来，我们就可以用数组 以数位升序来储存这个大数了。最后只需将数组中的每个元素(int)打印到屏幕上即可。

给数组分配多少个元素

题目的裁判测试程序并没有引入 stdlib.h头文件，因此我没法使用动态内存分配/回收函数。而 1000!的结果到底有多少位，我一时半会儿也是不知道的。

其实可以用最 简单粗暴的方式估计一下： 1000个 1000相乘

[1\times 10^{3}\times 10^{3} \cdots \times 10^{3} = 1\times 10^{3\times1000} ]

这样算出来的结果有 3001位。如果是运算 1000!的话，是怎么也不会算出 3001个数位的数字的，所以分配 3000个元素一定能保证数组能装得下结果的所有数位。

注：有一种可以用来计算阶乘近似值的公式—— 斯特林公式

实现乘法时关注的对象

阶乘运算的基础是乘法运算，只要把正确的乘法算法写出来，这道题咱们就几乎能解决了！

关于乘法算法，我觉得要关注以下三种情况：

1. 无需进行进位操作 每一位数字乘上因数后均未超过 9，无需进位。

2. 需要进行进位操作

   假设当前处理的是十位，十位数字乘上因数后为 12，超过了 9。将 12” 拆成” 1和 2，将 最低位 2保留下来，其余的数位 1 进入高位。

3. 需要进行进位操作，而且进了一位后的数位又可以再进一位

   假设当前处理的是百位，百位数字乘上因数后为 49，超过了 9。将 49” 拆成” 4和 9，将 最低位 9保留下来，其余的数位 4 进入高位。 然而此时发现，之前在处理十位时，十位上的数字被拆分为 1和 4，其中 1进入到百位，而百位现在的数字是 9， 9+1 又可以向后进一位。 9+1=10，因此将 0保留下来，而 1 进入高位，加上之前进入高位的数字 4，现在进入高位的数字是 4+1=5。

   注：这是 很容易被忽略的一种情况。

根据以上描述，可以发现在 每次迭代中，我关注的是：

1. 当前处理的数位
2. 进入到下一位的数值

处理乘法中的进位

上面给出的演示中，进入高位的数字都没有超过 9，那么如果要进入高位的数字超过了 9怎么办呢？

实际上这里和上面的处理方法是差不多的。

每次迭代中处理 进到当前数位的数值时，将 待进位的数值中的 最低位进到当前的数位，在去除待进位的数值中的最低位后，剩余的数值 留到后面处理更高位的进位。

咱做了一个动图来直观地演示一下这个过程：

代码实现乘法部分

这里只截取了乘法部分，完整代码可以看下方题解代码

// arr是按数位储存结果的数组
// arrLen是上述数组的长度，也代表了结果数值的位数
// factor是每次迭代中要乘上的因数

// 将数组每一位都乘i，并进行进位处理(超过9的数字往高处进)
int j;
int carry = 0; // 要进到高位的数字
int multiplied; // 用于临时储存数组中每一位数字乘了因数之后的值
int calcDigit; // 用于临时储存新计算出来的某一个数位
for (j = 0; j < arrLen; j++) {
    multiplied = arr[j] * factor; // 每一位都乘i
    // multiplied % 10 取  的最低位，比如6*3=18>9，这个时候取出8，而1要进到高位
    // carry % 10 将  的最低位取出，这一位是进到  的
    calcDigit = multiplied % 10 + carry % 10;
    // 运算留给  进位的数值(carry)
    // 将  去掉最低位(因为最低位在上面已经进到当前数位了)，加上multiplied要进到高位的数字
    carry = carry / 10 + multiplied / 10;
    // 一种很容易错的情况，虽然multiplied % 10和carry % 10分别不会>=10，但是他们加起来是可能>=10的！
    // 也就是说，当前处理的数位在进位后可能>=10，需要再处理一道
    // 这种时候还要再进一次位
    if (calcDigit >= 10) {
        // 将除最低位外的数位加到  进位的数值(carry)上
        carry += calcDigit / 10;
        // 当前数位只保留最低位
        calcDigit %= 10;
    }
    // 存入最终运算出来的当前数位的值
    arr[j] = calcDigit;
    // j到数组边界了，但是还有要进到高位的数值，这说明位数不够了，那么就增加位数（增加数组元素）
    if (j >= arrLen - 1 && carry > 0)
        arrLen++;
}

题解代码

部分正确

这部分正确的代码错就错在忽略了当前数位的二次进位问题。

展开查看详情

void Print_Factorial(const int N) {
    if (N < 0) {
        printf("Invalid input");
        return;
    }
    int arr[3000] = {};
    arr[0] = 1;
    int arrLen = 1;
    int factor = 2;
    for (; factor = arrLen - 1 && carry > 0)
                arrLen++;
        }
    }
    int i;
    for (i = arrLen - 1; i >= 0; i--) {
        printf("%d", arr[i]);
    }
}

Accepted的代码

void Print_Factorial(const int N) {
    if (N < 0 || N > 1000) {
        printf("Invalid input");
        return;
    }
    /*
        如果阶乘结果大到C语言中任意一种基本数据类型都无法表达，
        不妨考虑一下能不能用某种数据结构来解决问题
        这里采用数组
    */
    /* 1000个1000相乘：1*(10^(3*1000))=1e+3000,
        结果是1000000000....(3000个零)
        而本题N不超过1000，阶乘结果肯定也达不到1e+3000,
        这里就给数组分配3000个元素
    */
    // 从数组第一个元素为个位开始，往后数位升高
    int arr[3000] = {}; // 全初始化为0
    arr[0] = 1; // 个位为1
    int arrLen = 1; // 标记数组目前元素个数(结果位数)
    int factor = 2; // 从2开始乘，因为arr[0]=1
    for (; factor = 10) {
                carry += calcDigit / 10;
                calcDigit %= 10;
            }
            arr[j] = calcDigit;
            if (j >= arrLen - 1 && carry > 0)
                arrLen++;
        }
    }
    // 打印结果数字
    int i;
    // 因为随着下标增加，数位升高，要打印出来正常的数值就得倒着遍历数组
    for (i = arrLen - 1; i >= 0; i--) {
        printf("%d", arr[i]);
    }
}

C++代码实现

#include
#include

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;                                   // 注意题目中说n为正整数，不用考虑0!的情况了
    vector result{1};                    // 用一个vector容器按**从低位到高位**的顺序储存结果每一位数字
    int digitsNum = 1;                          // 储存位数，而不是老是用vector的size方法
    for (int factor = 2; factor  9)
            {
                // 进位后，新的一位又>9了，需要再进到高位
                carry += newDigit / 10;
                newDigit = newDigit % 10;
            }
            result[currDigit] = (short)newDigit;       // 更新当前位
            currDigit++;                               // 处理下一位
        } while (currDigit < digitsNum || carry != 0); // 位数没处理完，或者还有进位，循环就要继续
    }
    for (int i = digitsNum - 1; i >= 0; i--)
    {
        cout << result[i];
    }
    return 0;
}

提交结果截图

• WA
• AC

Original: https://www.cnblogs.com/somebottle/p/big_number_fatorial.html
Author: SomeBottle
Title: 【题解笔记】PTA基础6-10：阶乘计算升级版