在学习资料满天飞的大环境下，知识变得非常零散，体系化的知识并不多，这就导致很多人每天都努力学习到感动自己，最终却收效甚微，甚至放弃学习。我的使命就是过滤掉大量的无效信息，将知识体系化，以短平快的方式直达问题本质，把大家从大海捞针的痛苦中解脱出来。
0 前言
从嵌入式系统转到自动驾驶算法岗一段时间了，发现思考问题的思路或者说套路还是很不一样的：系统更依赖于逻辑思维（分析和推理），算法更依赖于数学思维（每一行代码都能看懂，但是背后的逻辑是不能单靠代码看懂的，需要推一推数学公式，数学公式推明白了，再看代码，发现其实也很简单）。
这篇博客的内容实际上非常简单，之所以写它，一个原因是自己好长时间不写博客了，拿它热热身；还有就是作为自己转型之后的处女作调子不想起的太高，而且难的事情或者难的技术未必很难，只是没有被分解为多个简单的事情而已， 不好高骛远，小步快跑 才是进步最快的方法；最后一个原因是看到Apollo里角度归一化的代码写的对新手并不”友好”，简单问题搞复杂了，借此契机作一个说明，希望对新手有一点点帮助。
1 什么是角度归一化
归一化就是将函数的幅值映射到[0,1]的范围内。
角度归一化只是这么叫，其实并不是将角度映射到[0,1]，而是将其映射到一个周期内，[0,2pi)或[-pi, pi)或者其他的区间。
2 为什么做角度归一化
三角函数为周期函数，反三角函数的结果按道理说有无数个，为了方便将其映射到一个周期内。
而且C++中的反三角函数给出的结果映射到了[-pi, pi]，我们计算角度时为了和C++标准库保持一致，也将角度值映射到这个区间。
至于这个区间为什么是全闭区间，查看C++标准库（以std::arctan2为例）说明如下：
If no errors occur, the arc tangent of
y/x(arctan(yx)) in the range [-π , +π] radians, is returned.
- If
xis-∞andyis finite and positive,+πis returned - If
xis-∞andyis finite and negative,-πis returned
3 代码实现
double NormalizeAngle(const double angle) {
double a = std::fmod(angle + M_PI, 2.0 * M_PI);
if (a < 0.0) {
a += (2.0 * M_PI);
}
return a - M_PI;
}
上述代码是对正常的思路（公式）做了一个”偷懒”的变化之后的，让人看着很难受。如果你是第一次看到这个代码，先跳过往下看吧，看完下面的代码再回过头来看，就可以一眼发现到底是哪里”怪怪的”了。
这里需要说明一点，Apollo的代码将角度值映射到了 [-pi, pi) 这样一个左闭右开的区间，和标准库的映射区间并不相同。
正常人第一个想到的代码实现是这个样子的：
double NormalizeAngle(const double angle) {
double a = std::fmod(angle, 2.0 * M_PI);
if (a < -M_PI) {
a += (2.0 * M_PI);
} else if (a >= M_PI) {
a -= (2.0 * M_PI);
}
return a;
}
该代码对应的公式如下：
ϕ = θ + 2 k × π , k ∈ Z , θ ∈ ( − 2 π , 2 π ) (1) \mathbf{\phi} = {\theta}+{2k} \times \pi,\qquad {k \in Z},\ {\theta \in (-2\pi,2\pi)} \tag{1}ϕ=θ+2 k ×π,k ∈Z ,θ∈(−2 π,2 π)(1 )
θ = ϕ m o d ( 2 π ) (2) \theta = \phi \mod (2\pi) \tag2 θ=ϕm o d (2 π)(2 )
α = { θ + 2 π , − 2 π < θ < − π θ − 2 π , π ≤ θ < 2 π θ , − π ≤ θ < π (3) \alpha = \begin{cases} \theta + 2\pi, &{-2\pi
我们发现这个代码的实现思路就非常符合正常思维（未对公式进行变形）了。但是我们发现一个代码效率的问题，就是标准实现思路比Apollo的代码多了一个分支判断。
怎么样来简化掉这个分支判断呢？答案是对公式进行变形。
对上一节的公式进行变形，如下：
l e t θ ^ = ( θ + π ) m o d ( 2 π ) , θ ^ ∈ ( − π , π ) (4) let\quad\hat\theta = (\theta + \pi) \mod (2\pi), \qquad \hat\theta \in (-\pi,\pi)\tag4 l e t θ^=(θ+π)m o d (2 π),θ^∈(−π,π)(4 )
θ ^ = ( ( ϕ m o d ( 2 π ) ) + π ) m o d ( 2 π ) = ( ϕ + π ) m o d ( 2 π ) (5) \begin{aligned} \hat\theta &= ((\phi \mod (2\pi))+\pi) \mod (2\pi) \ &= (\phi+\pi) \mod (2\pi) \end{aligned}\tag5 θ^=((ϕm o d (2 π))+π)m o d (2 π)=(ϕ+π)m o d (2 π)(5 )
α = { θ ^ + π , − π < θ ^ < 0 θ ^ − π , 0 ≤ θ ^ < π (6) \alpha = \begin{cases} \hat\theta + \pi, \quad -\pi
根据该公式进行代码实现如下：
double NormalizeAngle(const double angle) {
double a = std::fmod(angle + M_PI, 2.0 * M_PI);
if (a < 0) {
a += M_PI;
} else {
a -= M_PI;
}
return a;
}
其实到这一步，优化已经做完了，仅仅进行了一次判断。对于Apollo去掉else分支的做法并不能提升代码效率，反而会降低代码的可读性，个人不推荐这种做法。
4 总结
- 看算法代码和普通的逻辑代码不同，要先了解背后的公式，否则效率很低。
- 如果对代码效率有提升再做公式的变换或者代码行数的减少，否则不要画蛇添足。
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Original: https://blog.csdn.net/weixin_44873133/article/details/124533355
Author: 穿越临界点
Title: 角度归一化实现
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