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最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。
最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。形式如下式：
目标函数 = Σ（观测值-理论值）2
观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有m个只有一个特征的样本：
(x (1 ),y (1 )),(x (2 ),y (2 ),…(x (m ),y (m ))
样本采用下面的拟合函数：
h θ(x )=θ0 +θ1 x
这样我们的样本有一个特征x，对应的拟合函数有两个参数θ0 和θ1
需要求出。
我们的目标函数为：
J (θ0 ,θ1 )=∑i =1 m (y (i )−h θ(x (i ))2 =∑i =1 m (y (i )−θ0 −θ1 x (i ))2
用最小二乘法做什么呢，使J (θ0 ,θ1 )
最小，求出使J (θ0 ,θ1 )最小时的θ0 和θ1
，这样拟合函数就得出了。
那么，最小二乘法怎么才能使J (θ0 ,θ1 )
最小呢？
上面提到要使J (θ0 ,θ1 )
最小，方法就是对θ0 和θ1分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于θ0 和θ1的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到θ0 和θ1
的值。下面我们具体看看过程。
J (θ0 ,θ1 )对θ0
求导，得到如下方程：
∑i =1 m (y (i )−θ0 −θ1 x (i ))=0
J (θ0 ,θ1 )对θ1
求导，得到如下方程：
∑i =1 m (y (i )−θ0 −θ1 x (i ))x (i )=0
①和②组成一个二元一次方程组，容易求出θ0 和θ1
的值：
θ0 =∑i =1 m (x (i ))2 ∑i =1 m y (i )−∑i =1 m x (i )∑i =1 m x (i )y (i )/m ∑i =1 m (x (i ))2 −(∑i =1 m x (i ))2
θ1 =m ∑i =1 m x (i )y (i )−∑i =1 m x (i )∑i =1 m y (i )/m ∑i =1 m (x (i ))2 −(∑i =1 m x (i ))2
这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。
拟合函数表示为 h θ(x 1 ,x 2 ,…x n )=θ0 +θ1 x 1 +…+θn x n
, 其中θi (i = 0,1,2… n)为模型参数，x i (i = 0,1,2… n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征x 0 =1
，这样拟合函数表示为：
h θ(x 0 ,x 1 ,…x n )=∑i =0 n θi x i
损失函数表示为：
J (θ0 ,θ1 …,θn )=∑j =1 m (h θ(x (j )0 ),x (j )1 ,…x (j )n ))−y (j )))2 =∑j =1 m (∑i =0 n θi x (j )i −y (j ))2
利用损失函数分别对θi
(i=0,1,…n)求导,并令导数为0可得：
∑j =0 m (∑i =0 n (θi x (j )i −y (j ))x (j )i
= 0 (i=0,1,…n)
这样我们得到一个N+1元一次方程组，这个方程组有N+1个方程，求解这个方程，就可以得到所有的N+1个未知的θ
这个方法很容易推广到多个样本特征的非线性拟合。原理和上面的一样，都是用损失函数对各个参数求导取0，然后求解方程组得到参数值。这里就不累述了。
矩阵法比代数法要简洁，且矩阵运算可以取代循环，所以现在很多书和机器学习库都是用的矩阵法来做最小二乘法。
这里用上面的多元线性回归例子来描述矩阵法解法。
假设函数h θ(x 1 ,x 2 ,…x n )=θ0 +θ1 x 1 +…+θn x n
的矩阵表达方式为：
h θ(x )=X θ
其中， 假设函数h θ(X )
为mx1的向量,θ为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。X
为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。
损失函数定义为J (θ)=1 2 (X θ−Y )T (X θ−Y )
其中Y
是样本的输出向量，维度为mx1. 1 2
在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。
根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对θ
向量求导取0。结果如下式：
∂∂θJ (θ)=X T (X θ−Y )=0
这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个矩阵求导的公式。
公式1：∂∂X (X X T )=2 X
公式2：∂∂θ(X θ)=X T
对上述求导等式整理后可得：
X T X θ=X T Y
两边同时左乘(X T X )−1
可得：
θ=(X T X )−1 X T Y
这样我们就一下子求出了θ
向量表达式的公式，免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给了数据,我们就可以用θ=(X T X )−1 X T Y算出θ
从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。
首先，最小二乘法需要计算X T X
的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。让X T X
的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。
第二，当样本特征n非常的大的时候，计算X T X
的逆矩阵是一个非常耗时的工作（nxn的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。
第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。
第四，讲一些特殊情况。当样本量m很少，小于特征数n的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征数n的时候，用方程组求解就可以了。当m大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用与最小二乘法的场景了。
Original: https://www.cnblogs.com/kex1n/p/9043773.html
Author: 小 楼 一 夜 听 春 雨
Title: 最小二乘法小结
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