下面是一个有四个控制点的Bezier 曲线：
可以通过改变一个控制点的位置来改变曲线的形状，比如将上图曲线中左边第二个控制点往上移，就可以得到下面的曲线:
可以看到，这种曲线生成方式比较直观和灵活，我只需要放置控制点，然后调整控制点的位置来得到想要的曲线，这就避免了和复杂的数学方程打交道，岂不快哉？
Bezier 曲线、B 样条和NURBS 都是根据控制点来生成曲线的，那么他们有什么区别了？简单来说，就是:
Bezier 曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B 样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B 样条提供了更多的灵活性；
Bezier 和B 样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS ，即非均匀有理B 样条来解决这个问题；
B 样条克服了Bezier 曲线的一些缺点，Bezier 曲线的每个控制点对整条曲线都有影响，也就是说，改变一个控制点的位置，整条曲线的形状都会发生变化，而B 样条中的每个控制点只会影响曲线的一段参数范围，从而实现了局部修改；
以下内容原文：二次与三次B样条曲线c++实现;
B样条曲线从Bezier曲线演变而来，了解B样条曲线首先得了解Bezier曲线。对于平面上的三个点P0，P1，P2，其坐标分别是(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)。二次Bezier曲线用一条抛物线进行拟合，其参数方程是
二次Bezier曲线有如下要求：（1）t=0时，曲线经过P0，并与P0P1相切；（2）t=1时，曲线经过P2，并与P1P2相切。即有
每3个离散点形成一条Bezier曲线，由于每条Bezier都经过端点，导致分段的Bezier曲线在端点处难以平滑过渡。二次B样条曲线克服了这个缺点，把端点移到线段中点（如下图所示），这样就能保证各段曲线在连接处能够一阶导数连续。
二次B样条曲线实现，只需将曲线参数t划分成k等分，t从0开始取值，间隔dt，直至kdt。如果想让整条曲线两端与起始点P0和终止点Pn重合，只需以P0和Pn为中点，构造新点PP1=2P0-P1，与PP2=2*Pn-Pn-1，替换掉P0与Pn即可。
三次B样条曲线通过样条基函数可以得到如下形式：
三次B样条具有以下物理意义，曲线起点S位于三角形P0P1P2的中线P1M1上，距离P1点1/3倍P1M1处；曲线中点E位于三角形P1P2P3的中线P2M2上，距离1/3倍P2M2处；曲线起点切线平行于P0P2，终点切线平行于P1P3.
三次B样条曲线要想让曲线两端与起始端P0与Pn重合，只需构造新点PP1=2P0-P1，与PP2=2Pn-Pn-1，分别加到P0之前与Pn之后即可。由此，参与计算点的增加了2个（注意，二次B样条是替换不是增加）。
程序实现了二次与三次B样条曲线，封装成了BSpline类
BSpine.h
1 #pragma once
2 //#include "position.h"
3
4 typedef struct tagPosition
5 {
6 double x;
7 double y;
8 tagPosition(double _x,double _y) { x=_x; y=_y;}
9 tagPosition() {};
10 bool operator==(const tagPosition & pt) { return (x==pt.x && y==pt.y);}
11 } CPosition;
12
13 class CBSpline
14 {
15 public:
16 CBSpline(void);
17 ~CBSpline(void);
18
19 void TwoOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num);
20 void TwoOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum);
21 double F02(double t);
22 double F12(double t);
23 double F22(double t);
24
25 void ThreeOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num);
26 void ThreeOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum);
27 double F03(double t);
28 double F13(double t);
29 double F23(double t);
30 double F33(double t);
31 };
View Code
BSpine.cpp
1 //**************************** BSpline.cpp ***********************************
2 // 包含功能：二次B样条平滑，三次B样条平滑；二次B样条平滑后节点插值
3 //
4 // 作者： 蒋锦朋 1034378054@qq.com
5 // 单位： 中国地质大学（武汉） 地球物理与空间信息学院
6 // 日期： 2014/12/03
7 //*************************************************************************************
8 #include "StdAfx.h"
9 #include "BSpline.h"
10
11
12 CBSpline::CBSpline(void)
13 {
14 }
15
16
17 CBSpline::~CBSpline(void)
18 {
19 }
20 //======================================================================
21 // 函数功能： 二次B样条平滑，把给定的点，平滑到B样条曲线上，不增加点的数目
22 // 输入参数： *pt ：给定点序列，执行完成后，会被替换成新的平滑点
23 // Num：点个数
24 // 返回值： 无返回值
25
26 // 编辑日期： 2014/12/03
27 //======================================================================
28 void CBSpline::TwoOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num)
29 {
30 CPosition *temp=new CPosition[Num];
31 for(int i=0;i)
32 temp[i]=pt[i];
33
34 temp[0].x=2*temp[0].x-temp[1].x; // 将折线两端点换成延长线上两点
35 temp[0].y=2*temp[0].y-temp[1].y;
36
37 temp[Num-1].x=2*temp[Num-1].x-temp[Num-2].x;
38 temp[Num-1].y=2*temp[Num-1].y-temp[Num-2].y;
39
40 CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3;
41 double t;
42 for(int i=0;i2;i++)
43 {
44 NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2];
45 if(i==0) // 第一段取t=0和t=0.5点
46 {
47 t=0;
48 pt[i].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
49 pt[i].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
50 t=0.5;
51 pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
52 pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
53 }else if(i==Num-3) // 最后一段取t=0.5和t=1点
54 {
55 t=0.5;
56 pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
57 pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
58 t=1;
59 pt[i+2].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
60 pt[i+2].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
61 }else // 中间段取t=0.5点
62 {
63 t=0.5;
64 pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
65 pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
66 }
67 }
68 delete []temp;
69 }
70
71 //================================================================
72 // 函数功能： 二次B样条拟合,在节点之间均匀插入指定个数点
73 // 输入参数： *pt ：给定点序列，执行完成后，会被替换成新的数据点
74 // Num：节点点个数
75 // *InsertNum: 节点之间需要插入的点个数指针
76 // 返回值： 无返回值
77 //
78 // 编辑日期： 2014/12/07
79 //=================================================================
80 void CBSpline::TwoOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum)
81 {
82 if(pt==NULL || InsertNum==NULL) return;
83
84 int InsertNumSum=0; // 计算需要插入的点总数
85 for(int i=0;i1;i++) InsertNumSum+=InsertNum[i];
86
87 CPosition *temp=new CPosition[Num]; // 二次B样条不需要增加点数，需要将首尾点替换掉
88 for(int i=0;i)
89 temp[i]=pt[i];
90
91 temp[0].x=2*temp[0].x-temp[1].x; // 将折线两端点换成延长线上两点
92 temp[0].y=2*temp[0].y-temp[1].y;
93
94 temp[Num-1].x=2*temp[Num-1].x-temp[Num-2].x;
95 temp[Num-1].y=2*temp[Num-1].y-temp[Num-2].y;
96
97 delete []pt; // 点数由原来的Num个增加到Num+InsertNumSum个，删除旧的存储空间，开辟新的存储空间
98
99 pt=new CPosition[Num+InsertNumSum];
100
101 CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4; // 两节点间均匀插入点，需要相邻两段样条曲线,因此需要四个节点
102
103 double t;
104 int totalnum=0;
105 for(int i=0;i1;i++) // 每条线段均匀插入点
106 {
107 if(i==0) // 第一段只需计算第一条样条曲线，无NodePt1
108 {
109 NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1]; NodePt4=temp[i+2];
110
111 double dt=0.5/(InsertNum[i]+1);
112 for(int j=0;j1;j++)
113 {
114 t=0+dt*j;
115 pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt2.x+F12(t)*NodePt3.x+F22(t)*NodePt4.x;
116 pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt2.y+F12(t)*NodePt3.y+F22(t)*NodePt4.y;
117 totalnum++;
118 }
119 }else if(i==Num-2) // 最后一段只需计算最后一条样条曲线，无NodePt4
120 {
121 NodePt1=temp[i-1]; NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1];
122
123 double dt=0.5/(InsertNum[i]+1);
124 for(int j=0;j2;j++)
125 {
126 t=0.5+dt*j;
127 pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
128 pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
129 totalnum++;
130 }
131 }else
132 {
133 NodePt1=temp[i-1],NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1]; NodePt4=temp[i+2]; // NodePt1,2,3计算第一条曲线，NodePt2,3,4计算第二条曲线
134
135 int LeftInsertNum,RightInsertNum; // 计算线段间左右曲线段上分别需要插入的点数
136 double rightoffset=0; // 左边曲线段从t=0.5开始，又边曲线段从t=rightoffset开始
137 double Leftdt=0,Rightdt=0; // 左右曲线取点t步长
138 if(InsertNum[i]==0 )
139 {
140 LeftInsertNum=0;
141 RightInsertNum=0;
142 }else if(InsertNum[i]%2==1) // 插入点数为奇数，左边曲线段插入点个数比右边多一点
143 {
144 RightInsertNum=InsertNum[i]/2;
145 LeftInsertNum=RightInsertNum+1;
146 Leftdt=0.5/(LeftInsertNum);
147 Rightdt=0.5/(RightInsertNum+1);
148 rightoffset=Rightdt;
149 }else // 插入点数为偶数，左右边曲线段插入个数相同
150 {
151 RightInsertNum=InsertNum[i]/2;
152 LeftInsertNum=RightInsertNum;
153 Leftdt=0.5/(LeftInsertNum+0.5);
154 Rightdt=0.5/(RightInsertNum+0.5);
155 rightoffset=Rightdt/2;
156 }
157
158 for(int j=0;j1;j++)
159 {
160 t=0.5+Leftdt*j;
161 pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
162 pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
163 totalnum++;
164 }
165
166 for(int j=0;j)
167 {
168 t=rightoffset+Rightdt*j;
169 pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt2.x+F12(t)*NodePt3.x+F22(t)*NodePt4.x;
170 pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt2.y+F12(t)*NodePt3.y+F22(t)*NodePt4.y;
171 totalnum++;
172 }
173 }
174 }
175 delete []temp;
176 Num=Num+InsertNumSum;
177
178 }
179 //================================================================
180 // 函数功能： 二次样条基函数
181 //
182 // 编辑日期： 2014/12/03
183 //================================================================
184 double CBSpline::F02(double t)
185 {
186 return 0.5*(t-1)*(t-1);
187 }
188 double CBSpline::F12(double t)
189 {
190 return 0.5*(-2*t*t+2*t+1);
191 }
192 double CBSpline::F22(double t)
193 {
194 return 0.5*t*t;
195 }
196 //========================================================================
197 // 函数功能： 三次B样条平滑，把给定的点，平滑到B样条曲线上，不增加点的数目
198 // 输入参数： *pt ：给定点序列，执行完成后，会被替换成新的平滑点
199 // Num：点个数
200 // 返回值： 无返回值
201 //
202 // 编辑日期： 2014/12/03
203 //========================================================================
204 void CBSpline::ThreeOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num)
205 {
206 CPosition *temp=new CPosition[Num+2];
207 for(int i=0;i)
208 temp[i+1]=pt[i];
209
210 temp[0].x=2*temp[1].x-temp[2].x; // 将折线延长线上两点加入作为首点和尾点
211 temp[0].y=2*temp[1].y-temp[2].y;
212
213 temp[Num+1].x=2*temp[Num].x-temp[Num-1].x;
214 temp[Num+1].y=2*temp[Num].y-temp[Num-1].y;
215
216 CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;
217 double t;
218 for(int i=0;i1;i++)
219 {
220 NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2]; NodePt4=temp[i+3];
221
222 if(i==Num-4) // 最后一段取t=0.5和t=1点
223 {
224 t=0;
225 pt[i].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
226 pt[i].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
227 t=1;
228 pt[i+1].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
229 pt[i+1].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
230 }else // 中间段取t=0.5点
231 {
232 t=0;
233 pt[i].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
234 pt[i].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
235 }
236 }
237 delete []temp;
238 }
239
240 //================================================================
241 // 函数功能： 三次B样条拟合,在节点之间均匀插入指定个数点
242 // 输入参数： *pt ：给定点序列，执行完成后，会被替换成新的数据点
243 // Num：节点点个数
244 // *InsertNum: 节点之间需要插入的点个数指针
245 // 返回值： 无返回值
246 //
247 // 编辑日期： 2014/12/07
248 //=================================================================
249 void CBSpline::ThreeOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum)
250 {
251 if(pt==NULL || InsertNum==NULL) return;
252
253 int InsertNumSum=0; // 计算需要插入的点总数
254 for(int i=0;i1;i++) InsertNumSum+=InsertNum[i];
255
256 CPosition *temp=new CPosition[Num+2];
257 for(int i=0;i)
258 temp[i+1]=pt[i];
259
260 temp[0].x=2*temp[1].x-temp[2].x; // 将折线延长线上两点加入作为首点和尾点
261 temp[0].y=2*temp[1].y-temp[2].y;
262
263 temp[Num+1].x=2*temp[Num].x-temp[Num-1].x;
264 temp[Num+1].y=2*temp[Num].y-temp[Num-1].y;
265
266 CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;
267 double t;
268
269 delete []pt; // 点数由原来的Num个增加到Num+InsertNumSum个，删除旧的存储空间，开辟新的存储空间
270
271 pt=new CPosition[Num+InsertNumSum];
272
273 int totalnum=0;
274 for(int i=0;i1;i++) // 每条线段均匀插入点
275 {
276 NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2]; NodePt4=temp[i+3];
277 double dt=1.0/(InsertNum[i]+1);
278
279 for(int j=0;j1;j++)
280 {
281 t=dt*j;
282 pt[totalnum].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
283 pt[totalnum].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
284 totalnum++;
285 }
286
287 if(i==Num-2){ // 最后一个尾点
288 t=1;
289 pt[totalnum].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
290 pt[totalnum].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
291 totalnum++;
292 }
293 }
294
295 delete []temp;
296 Num=Num+InsertNumSum;
297
298 }
299
300 //================================================================
301 // 函数功能： 三次样条基函数
302 //
303 // 编辑日期： 2014/12/03
304 //================================================================
305 double CBSpline::F03(double t)
306 {
307 return 1.0/6*(-t*t*t+3*t*t-3*t+1);
308 }
309 double CBSpline::F13(double t)
310 {
311 return 1.0/6*(3*t*t*t-6*t*t+4);
312 }
313 double CBSpline::F23(double t)
314 {
315 return 1.0/6*(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1);
316 }
317 double CBSpline::F33(double t)
318 {
319 return 1.0/6*t*t*t;
320 }
View Code
程序调用
1 #include "stdafx.h"
2 #include "math.h"
3 #include "BSpline.h"
4
5 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
6 {
7 int num=8;
8 double x[8]={9.59,60.81,105.57,161.59,120.5,100.1,50.0,10.0};
9 double y[8]={61.97,107.13,56.56,105.27,120.5,150.0,110.0,180.0};
10
11 CPosition *testpt=new CPosition[num];
12 for(int i=0;iCPosition(x[i],y[i]);
13
14 int *Intnum=new int[num-1];
15 for(int i=0;i1;i++){
16 Intnum[i]=10; // 每一个样条曲线内插入10个点
17 }
18
19 int num2=num;
20 CBSpline bspline;
21 bspline.TwoOrderBSplineInterpolatePt(testpt,num2,Intnum); // 二次B样条曲线
22 //bspline.ThreeOrderBSplineInterpolatePt(testpt,num2,Intnum); // 三次B样条曲线
23
24 //bspline.TwoOrderBSplineSmooth(testpt,num2); // 二次B样条平滑
25 //bspline.ThreeOrderBSplineSmooth(testpt,num2); // 三次B样条平滑
26 delete Intnum;
27
28
29 FILE *fp_m_x = fopen("Bspline_test_x.txt", "wt");
30 FILE *fp_m_y = fopen("Bspline_test_y.txt", "wt");
31 for (int i = 0; i < num2; i++){
32 fprintf(fp_m_x, "%lf\n", testpt[i].x);
33 fprintf(fp_m_y, "%lf\n", testpt[i].y);
34 }
35 fclose(fp_m_x);
36 fclose(fp_m_y);
37
38 return 0;
39 }
View Code
Original: https://www.cnblogs.com/kongbursi-2292702937/p/15330359.html
Author: kongbursi
Title: C++实现二次、三次B样条曲线
原创文章受到原创版权保护。转载请注明出处：https://www.johngo689.com/535522/
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