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C++ 有向图最短路径之Dijkstra算法

• C++ • 阅读 95

摘自：https://blog.csdn.net/chuanzhouxiao/article/details/88831371

一、思路

1.Dijkstra算法

每次都是从起始顶点v出发，找与v有关的有向边

如上面的有向图：起始顶点为0

（1）先将顶点0加入到已访问集合s中，找第一条权值最小的邻接边为

然后找顶点1的邻接边

（2）然后是权值次小的邻接有向边

然后找顶点3的邻接边

接着，找另一邻接边为：

顶点3没有邻接边了，结束；

（3）因为顶点2还没被访问过，且权值是第3小，前面求得从顶点0到顶点2的最短路径为：0->3->2，长度为：50。

接着从顶点2出发，把顶点2加入到集合s中（标记为已访问过），找顶点2的邻接边，找到为：

（4）最后，邻接边为

2.输出从顶点0到各个顶点的最短路径：

（1）如果当前顶点不是顶点0，如果是顶点1，把1加入到路径d中，然后path[1]（从0到1最短路径上的顶点1的上一个顶点）是0，把顶点0加入到路径d[]中，结束。接着倒过来输出d[]，从顶点0到顶点1的最短路径为：0->1

（2）当前顶点为2，把2加入到路径d[]中，然后path[2]（最短路径的上一个顶点）是3，把顶点3加入到d[]，因为还没到顶点0，所以，继续找顶点3的前一个顶点，path[3]=0，把顶点0加入到d[]中，结束。倒过来输出d[]，即从顶点0到顶点2的最短路径为：0->3->2

（3）当前顶点为3，同样道理，把顶点3加入到d[]中，找path[3]=0，把顶点0加入到d[]中，结束。倒过来输出d[]，即从顶点0到顶点3的最短路径为：0->3

（4）当前顶点为4，把顶点4加入到d[]中，找path[4]=2，把顶点2加入到d[]中，接着找path[2]=3,把顶点3加入到d[]中，接着找path[3]=0，把顶点0加入到d[]中，结束。倒过来输出d[]，即从顶点0到顶点4的最短路径为：0->3->2->4。结束程序。

二、实现程序：

1.Graph.h：有向图头文件

// Graph.h
#ifndef Graph_h
#define Graph_h
#include 
using namespace std;

const int DefaultVertices = 30;

template <class T, class E>
struct Edge { // 边结点的定义
    int dest; // 边的另一顶点位置
    E cost; // 表上的权值
    Edge *link; // 下一条边链指针
};

template <class T, class E>
struct Vertex { // 顶点的定义
    T data; // 顶点的名字
    Edge *adj; // 边链表的头指针
};

template <class T, class E>
class Graphlnk {
public:
    const E maxValue = 100000; // 代表无穷大的值（=∞）
    Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 构造函数
    ~Graphlnk(); // 析构函数
    void inputGraph(); // 建立邻接表表示的图
    void outputGraph(); // 输出图中的所有顶点和边信息
    T getValue(int i); // 取位置为i的顶点中的值
    E getWeight(int v1, int v2); // 返回边（v1， v2）上的权值
    bool insertVertex(const T& vertex); // 插入顶点
    bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入边
    bool removeVertex(int v); // 删除顶点
    bool removeEdge(int v1, int v2); // 删除边
    int getFirstNeighbor(int v); // 取顶点v的第一个邻接顶点
    int getNextNeighbor(int v,int w); // 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
    int getVertexPos(const T vertex); // 给出顶点vertex在图中的位置
    int numberOfVertices(); // 当前顶点数
private:
    int maxVertices; // 图中最大的顶点数
    int numEdges; // 当前边数
    int numVertices; // 当前顶点数
    Vertex * nodeTable; // 顶点表(各边链表的头结点)
};

// 构造函数:建立一个空的邻接表
template <class T, class E>
Graphlnk::Graphlnk(int sz) {
    maxVertices = sz;
    numVertices = 0;
    numEdges = 0;
    nodeTable = new Vertex[maxVertices]; // 创建顶点表数组
    if(nodeTable == NULL) {
        cerr << "存储空间分配错误！" << endl;
        exit(1);
    }
    for(int i = 0; i < maxVertices; i++)
        nodeTable[i].adj = NULL;
}

// 析构函数
template <class T, class E>
Graphlnk::~Graphlnk() {
    // 删除各边链表中的结点
    for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
        Edge *p = nodeTable[i].adj; // 找到其对应链表的首结点
        while(p != NULL) { // 不断地删除第一个结点
            nodeTable[i].adj = p->link;
            delete p;
            p = nodeTable[i].adj;
        }
    }
    delete []nodeTable; // 删除顶点表数组
}

// 建立邻接表表示的图
template <class T, class E>
void Graphlnk::inputGraph() {
    int n, m; // 存储顶点树和边数
    int i, j, k;
    T e1, e2; // 顶点
    E weight; // 边的权值

    cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;
    cin >> n >> m;
    cout << "请输入各顶点：" << endl;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        cin >> e1;
        insertVertex(e1); // 插入顶点
    }

    cout << "请输入图的各边的信息：" << endl;
    i = 0;
    while(i < m) {
        cin >> e1 >> e2 >> weight;
        j = getVertexPos(e1);
        k = getVertexPos(e2);
        if(j == -1 || k == -1)
            cout << "边两端点信息有误，请重新输入！" << endl;
        else {
            insertEdge(j, k, weight); // 插入边
            i++;
        }
    } // while
}

// 输出有向图中的所有顶点和边信息
template <class T, class E>
void Graphlnk::outputGraph() {
    int n, m, i;
    T e1, e2; // 顶点
    E weight; // 权值
    Edge *p;

    n = numVertices;
    m = numEdges;
    cout << "图中的顶点数为" << n << ",边数为" << m << endl;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        p = nodeTable[i].adj;
        while(p != NULL) {
            e1 = getValue(i); // 有向边dest>,>
            e2 = getValue(p->dest);
            weight = p->cost;
            cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl;
            p = p->link; // 指向下一个邻接顶点
        }
    }
}

// 取位置为i的顶点中的值
template <class T, class E>
T Graphlnk::getValue(int i) {
    if(i >= 0 && i < numVertices)
        return nodeTable[i].data;
    return NULL;
}

// 返回边（v1， v2）上的权值
template <class T, class E>
E Graphlnk::getWeight(int v1, int v2) {
    if(v1 != -1 && v2 != -1) {
        Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一条关联的边
        while(p != NULL && p->dest != v2) { // 寻找邻接顶点v2
            p = p->link;
        }
        if(p != NULL)
            return p->cost;
    }
    return maxValue; // 边(v1, v2)不存在,就存放无穷大的值
}

// 插入顶点
template <class T, class E>
bool Graphlnk::insertVertex(const T& vertex) {
    if(numVertices == maxVertices) // 顶点表满，不能插入
        return false;
    nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后
    numVertices++;
    return true;
}

// 插入边
template <class T, class E>
bool Graphlnk::insertEdge(int v1, int v2, E weight) {
    if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) {
        Edge *p = nodeTable[v1].adj; // v1对应的边链表头指针
        while(p != NULL && p->dest != v2) // 寻找邻接顶点v2
            p = p->link;
        if(p != NULL) // 已存在该边，不插入
            return false;
        p = new Edge; // 创建新结点
        p->dest = v2;
        p->cost = weight;
        p->link = nodeTable[v1].adj; // 链入v1边链表
        nodeTable[v1].adj = p;
        numEdges++;
        return true;
    }
    return false;
}

// 有向图删除顶点较麻烦
template <class T, class E>
bool Graphlnk::removeVertex(int v) {
    if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices)
        return false; // 表空或顶点号超出范围

    Edge *p, *s;
    // 1.清除顶点v的边链表结点w 边,w>
    while(nodeTable[v].adj != NULL) {
        p = nodeTable[v].adj;
        nodeTable[v].adj = p->link;
        delete p;
        numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
    } // while结束
    // 2.清除，与v有关的边,>
    for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
        if(i != v) { // 不是当前顶点v
            s = NULL;
            p = nodeTable[i].adj;
            while(p != NULL && p->dest != v) {// 在顶点i的链表中找v的顶点
                s = p;
                p = p->link; // 往后找
            }
            if(p != NULL) { // 找到了v的结点
                if(s == NULL) { // 说明p是nodeTable[i].adj
                    nodeTable[i].adj = p->link;
                } else {
                    s->link = p->link; // 保存p的下一个顶点信息
                }
                delete p; // 删除结点p
                numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
            }
        }
    }
    numVertices--; // 图的顶点个数减1
    nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填补,此时numVertices，比原来numVertices小1，所以，这里不需要numVertices-1
    nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj;
    // 3.要将填补的顶点对应的位置改写
    for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
        p = nodeTable[i].adj;
        while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在顶点i的链表中找numVertices的顶点
            p = p->link; // 往后找
        if(p != NULL) // 找到了numVertices的结点
            p->dest = v; // 将邻接顶点numVertices改成v
    }
    return true;
}

// 删除边
template <class T, class E>
bool Graphlnk::removeEdge(int v1, int v2) {
    if(v1 != -1 && v2 != -1) {
        Edge * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL;
        while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1对应边链表中找被删除边
            q = p;
            p = p->link;
        }
        if(p != NULL) { // 找到被删除边结点
            if(q == NULL) // 删除的结点是边链表的首结点
                nodeTable[v1].adj = p->link;
            else
                q->link = p->link; // 不是，重新链接
            delete p;
            return true;
        }
    }
    return false; // 没有找到结点
}

// 取顶点v的第一个邻接顶点
template <class T, class E>
int Graphlnk::getFirstNeighbor(int v) {
    if(v != -1) {
        Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
        if(p != NULL) // 存在，返回第一个邻接顶点
            return p->dest;
    }
    return -1; // 第一个邻接顶点不存在
}

// 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
template <class T, class E>
int Graphlnk::getNextNeighbor(int v,int w) {
    if(v != -1) {
        Edge *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
        while(p != NULL && p->dest != w) // 寻找邻接顶点w
            p = p->link;
        if(p != NULL && p->link != NULL)
            return p->link->dest;  // 返回下一个邻接顶点
    }
    return -1; // 下一个邻接顶点不存在
}

// 给出顶点vertex在图中的位置
template <class T, class E>
int Graphlnk::getVertexPos(const T vertex) {
    for(int i = 0; i < numVertices; i++)
        if(nodeTable[i].data == vertex)
            return i;
    return -1;
}

// 当前顶点数
template <class T, class E>
int Graphlnk::numberOfVertices() {
    return numVertices;
}

#endif /* Graph_h */,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>,>

2.Dijkstra.h

// Dijkstra.h
#ifndef Dijkstra_h
#define Dijkstra_h
#include "Graph.h"

// Dijkstra算法
template <class T, class E>
void Dijkstra(Graphlnk &G, int v, E dist[], int path[]) {
    // Graph是一个带权有向图，dist[]是当前求到的从顶点v到顶点j的最短路径长度，同时用数组
    // path[]存放求到的最短路径
    int n = G.numberOfVertices(); // 顶点数
    bool *s = new bool[n]; // 最短路径顶点集
    int i, j, k, u;
    E w, min;

    for(i = 0; i < n; i++) {
        dist[i] = G.getWeight(v,i); // 数组初始化，获取(v,i)边的权值
        s[i] = false; // 该顶点未被访问过
        if(i != v && dist[i] < G.maxValue) // 顶点i是v的邻接顶点
            path[i] = v; // 将v标记为顶点i的最短路径
        else
            path[i] = -1; // 说明该顶点i与顶点v没有边相连
    }
    s[v] = true; // 标记为访问过，顶点v加入s集合中
    dist[v] = 0;
    for(i = 0; i < n-1; i++) {
        min = G.maxValue;
        u = v; // 选不在生成树集合s[]中的顶点
        // 1.找v的权值最小且未被访问过的邻接顶点w,,w>
        for(j = 0; j < n; j++) {
            if(s[j] == false && dist[j] < min) {
                u = j;
                min = dist[j];
            }
        }
        s[u] = true; // 将顶点u加入到集合s
        for(k = 0; k < n; k++) { // 修改
            w = G.getWeight(u, k);
            if(s[k] == false && w < G.maxValue && dist[u] + w < dist[k]) {
                // 顶点k未被访问过，且从v->u->k的路径比v->k的路径短
                dist[k] = dist[u] + w;
                path[k] = u; // 修改到k的最短路径
            }
        }
    }
}

// 从path数组读取最短路径的算法
template <class T, class E>
void printShortestPath(Graphlnk &G, int v, E dist[], int path[]) {
    int i, j, k, n = G.numberOfVertices();
    int *d = new int[n];

    cout << "从顶点" << G.getValue(v) << "到其他各顶点的最短路径为：" << endl;
    for(i = 0; i < n; i++) {
        if(i != v) { // 如果不是顶点v
            j = i;
            k = 0;
            while(j != v) {
                d[k++] = j;
                j = path[j];
            }
            cout  << "顶点" << G.getValue(i) << "的最短路径为：" << G.getValue(v);
            while(k > 0)
                cout << "->" << G.getValue(d[--k]);
            cout << "，最短路径长度为：" << dist[i] << endl;
        }
    }
}
#endif /* Dijkstra_h */,>,>

3.main.cpp

// main.cpp
/*
 测试数据：
 5 7
 0 1 2 3 4
 0 1 10
 0 3 30
 0 4 100
 1 2 50
 2 4 10
 3 2 20
 3 4 60
 */

#include "Dijkstra.h"

const int maxSize = 40;

int main(int argc, const char * argv[]) {
    Graphlnk<char, int> G; // 声明图对象
    int dist[maxSize], path[maxSize], v;
    char u0;

    // 创建图
    G.inputGraph();
    cout << "图的信息如下：" << endl;
    G.outputGraph();
    cout << "请输入起始顶点u0:" << endl;
    cin >> u0;
    v = G.getVertexPos(u0); // 取得起始顶点的位置
    // 我把dist数组放到有向图头文件中，方便建立有向图时，同时初始化dist数组
    Dijkstra(G, v, dist, path); // 调用Dijkstra函数
    printShortestPath(G, v, dist, path); // 输出到各个顶点的最短路径
    return 0;
}

测试结果：

C++ 有向图最短路径之Dijkstra算法

Original: https://www.cnblogs.com/LiuYanYGZ/p/16318320.html
Author: LiuYanYGZ
Title: C++ 有向图最短路径之Dijkstra算法

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